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1、线线 性性 代代 数数 线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产 生的,它是近世代数的一个分支。 近世代数是由两个不得志的青年所创建的,一个叫阿 贝尔,一个叫伽罗瓦。 阿贝尔的一生是不幸的。他在当时所写的数学论文都 没有得到老一辈数学家们的重视。如:他曾五次将一篇“ 五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的高 斯,但都没有得到回音。由于他的不断出外求学,致使经 济状况十分糟糕,最后只得回到自己的故乡挪威。没过 多久,他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。就 在他死后的第三天,他的朋友通知他,他已被柏林大学聘 请为数学教授。 序 言 线线 性性 代代 数数 伽罗瓦的一生充满忧
2、伤和苦恼,景况比阿贝尔还差。 他在事业上不断受挫,他上交给科学院的论文,没有得到 当时时任科学院院长的数学家柯西的及时评价,连手稿 都被丢失。最后一次甚至得到数学家泊松的草率评语-“ 一个不可理解的”。他于21岁在一次决斗中死去。 序 言 后人在整理和总结他们的论文中,建立了近世代数。 线性代数作为近世代数这个主干上的一个重要分支,其发 展是顺理成章的,并不象有的科学的发展具有传奇色彩。 例如:拓扑学是人们在讨论七桥问题这个游戏中产生的; 解析几何据说是笛卡尔在一个梦中发现的;而概率论是源 于赌博场。 线线 性性 代代 数数 线性代数是在十九世纪首先由英国的犹太 人西尔维斯特和凯来开始研究的,
3、后来由美国 的皮尔斯父子和狄克生等人发扬光大。线性代 数虽然是近世代数的一个分支,但在代数的各 个领域中就其应用的广泛性而言是第一的,尤 其是在工程技术方面已成为不可缺少的工具。 下面我们就开始线性代数的学习。 序 言 线线 性性 代代 数数 1.1矩阵的基本概念 例 某电视机厂生产三种型号的35厘米(14英寸)彩电TC-1、TC- 2、TC-3,它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声 器)、S4(机壳),而这些零部件的主要原材料为:M1(铜)、M2(玻璃) 、M3 (塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同 的零部件所需原材料的数量在下列两表中给出: T
4、C-1TC-2TC-3 S1 111 S2345 S3246 S4111 S1S2S3S4 M1 2440 M214004 M312110 4行3列 3行4列 第一章 矩 阵(Matrix) 线线 性性 代代 数数 基于上述这种数据成行成列排布的现象,1850年犹太 人西尔维斯特(Sylvester,18141897)首次提出了“矩 阵”这个词。 一、矩阵的定义 指的是mn个数 ,排列 成的m 行n 列(横称行,纵称列)的矩形阵列(表),我 们称之为维是 mn 的矩阵,简称为 mn 矩阵,简记 为 。其表示形式(通式)为: 注:这里是用方括号把一组数括 起来;同时有两个下标,这不同于 级数的单
5、下标。 1.1矩阵的基本概念 线线 性性 代代 数数 一、矩阵的定义 其中,横向排列的 , , 是的 第i 行;纵向排列的 , , 是 的第j 列。因此 位于 的第i 行j 列,称之为矩阵 的(i,j )-元。 另外,为了书写的方便,常常在不致于引起混淆的情 况下,用大写黑斜体字母A、B、C 或A1、A2、A3 等表示, 即A= 线线 性性 代代 数数 从上面的定义,我们可以看出:要确定一个矩阵, 我们必须知道它的维(mn)和每一个矩阵元( )。 A= 2 12 24 3 11 27 例如: 1 16 31 矩阵A的维为:33 矩阵A的每一个元分别为:a11=1; a12=16; a13=31
6、; a21=2; a22=12; a23=24; a31=3; a32=11; a33=27。 二、矩阵的要素 线线 性性 代代 数数 试问: 6 3 1 3 3 2 B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵? 9 5 2 3 6 1 为什么? 课堂作业:试写出一个54维的矩阵A,其中矩阵 元满足公式aij=2i-j。 1 0 -1 -2 3 2 1 0 A= 5 4 3 2 7 6 5 4 9 8 7 6 注意观察数据通元的表 达式,养成善于观察的 好习惯。显然行之间是 公差为2的等差数列;列 之间是公差为-1的等差 数列。 下面给出一个注 意观察的例子, 看看有无规律。 线线 性性
7、代代 数数 例:请每位同学在0到9这十个基本数字中任选一 个,先用你选的这个数加上1,再乘以3,再乘以3 ,然后将所得的结果进行“横加”(如:25“横加” 即为2+5=7),再将横加后所得的结果乘以70,再 加上36。大家得出的结果是多少? 是不是都是666?为什么? 答:因为110这十个数乘以9再“ 横加”后都是9。 线线 性性 代代 数数 课后作业:试写出一个55维的矩阵,其矩阵元满足 a11=2, aij=ij (i=1或j=1) aij=a(i-1)j+ai(j-1) (i1,j1) 线线 性性 代代 数数 例1 某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网。 通过勘察测算,获得一组有关
8、建设费用的预算数据: 我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据: 三、实际问题的矩阵表达 线线 性性 代代 数数 典故:战国时期,齐国国王有一天与他的一 员大将田忌进行赌马,他决定给田忌上、中、 下三个等级的赛马各一匹,自己也拿上、中、下 三个等级的赛马各一匹。已知同级别(均为上或 中或下)的赛马参加比赛,齐王获胜,但是不同 级别的赛马比赛,高等级的赛马一定赢低等级的 赛马(如田忌的上等马一定胜齐王的中、下等马 ;田忌的中等马一定胜齐王的下等马)。每次比 赛败者付给胜者100金。结果是齐王每次都输给 田忌100金。下面我们来求齐王的赢得矩阵。 例2 (田忌赛马问题,即对策论或竞赛论问题
9、) 线线 性性 代代 数数 解:对于田忌和齐王而言,各有三匹马,因此他们布阵 的方式均各有6(P33)种可能,即 (上、中、下),(中、下、上),(中、上、下), (上、下、中),(下、上、中),(下、中、上)。 共六种。那么齐王的赢得矩阵应为:(66 维的矩阵) 1 1 3 -1 1 1 策 1 1 1 3 1 -1 略 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1 1 1 3 3 1 1 1 -1 1 齐 -1 3 1 1 1 1 王 田忌策略 根据上面的矩阵,事 实上田忌和齐王获胜的 可能性是完全相同,那 么齐王为什么每次都会 输100金呢?关键就是齐 王先公布排阵方式,而 田忌就采用上述矩阵
10、元 为-1的方式与齐王比赛 。 线线 性性 代代 数数 两位素久未曾联络的朋友甲和乙在一栋高 楼前相遇,一阵寒暄后,甲对乙说:“我有三个 儿子,三个儿子年龄的乘积为36,你能不能猜 出他们的年龄?”,乙说“不能”;甲又说:“我 三个儿子年龄的和等于这栋高楼的窗户总数, 现在你能不能说出他们的年龄各是多少?”,乙 说“不能”;甲再说:“我的大儿子比二儿子大几 岁,现在你能不能说出他们的年龄各是多少?” ,乙说:“能”,并且马上准确地说出了他们的 年龄。请问:甲的三个儿子的年龄分别为多少 岁? 例3 归纳推理性问题 线线 性性 代代 数数 解:显然根据题意只有一个已知数字条件,故通过常规的方程组无
11、 法求解,而必须借助题中说话者话语间的逻辑进行推理。故首先是 对36进行分解,并列出所有可能的三个数相乘情况,于是就可以得 到一个列数为3的矩阵(不妨假设按儿子大小的顺序排列): 和 38 21 16 14 13 13 11 10 大 二 小 18 2 1 12 3 1 9 4 1 9 2 2 6 6 1 6 3 2 4 3 3 36 1 1 求出所有可能性的和列在右边。 虽然我们并不知道高楼的窗户 数,但乙是知道的,因此如果窗户 数为38、21、16、14、11、10,那 么甲无须说第三句话,乙就可以说 出甲三个儿子的年龄。但事实是乙 无法说出,说明他们甲的三个儿子 年龄和为13。 再根据“
12、大儿子比二儿子大几 岁”,可知甲的三个儿子年龄分别 为9、2、2岁。 线线 性性 代代 数数 设a省的两个城市a1、a2与b省的三个城市b1、b2、b3 间的交通网络图如下,图中每条线上的数字表示两个城市 间的不同通路总数,请用矩阵表示它们之间的通路信息。 a2 a1 b1 b2 b3 4 1 3 2 2 4 0 b1 C= 1 2 b2 3 2 b3 a1 a2 课堂作业:(城市间通路问题) 线线 性性 代代 数数 1、n阶方阵(n阶矩阵): 指的是行、列相等且均为n的矩阵。 2、行矩阵(m=1)与列矩阵(n=1): a11 a12 a1n行矩阵,又称行向量,用小写 黑体字母aT、bT等表示
13、。 a21 an1 a11 列矩阵,又称列向量,用小写黑体a、b等表示。 就向量而言,其中的每一个元称为分量, 分量的个数称维,所以它是n维(行或列)向 量。而矩阵的维应为1n或n1。 四、一些特殊的矩阵 线线 性性 代代 数数 3、对角矩阵: 指的是aij=0(ij)的矩阵。 如: 12 0 0 0 0 0 A= 0 3 0 特别地 B= 0 0 0 称为零矩阵 0 0 4 0 0 0 亦可简记为:A=diag(12,3,4);B= diag(0,0,0) 4、上三角矩阵: 指的是aij=0(ij)的矩阵,简称U或R (Upper triangular matrix, Right)。 如: (即对角线以上的矩阵元不等于) 5、下三角矩阵: 指的是aij=0(ij)的矩阵,简称( Lower triangular matrix, Left) 如: 3 0 0 2 4 0 (即对角线以下的矩阵元不等于 ) 6 8 0 线线 性性 代代 数数 、标量矩阵: 指的是aij=0(ij),ai=aj=(常 量)的阶对角阵。 即: diag(, , )= 7、单位矩阵: 指的是的标量矩阵,记为或 。 1 1