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1、波动 波动 波源在连续弹性介质中振动,与介质发生相 互作用,使振动由近及远发生传播形成波动。 波动的两个基本条件:波源与介质。 横波与纵波 横波:介质中质元的振 动方向与波传播的方向 正交。 纵波:介质中质元的振 动方向与波传播的方向 平行。 在气体或液体介质中主要成分是纵波,在固体介 质中横波和纵波两种成分同时存在。 平面简谐波 空间每一点都作简谐振动 ,不同点之间有确定的相 位差。 相位以一定的速度传播, 此即波的相速度,简称波 速v。 对于波包来说,波包中心 前进的速度称为群速 vg。 平面简谐波 假设波向右传播,波速 v,考虑 x = 0 点的振动: 而位于x点在t 时刻的振动,则是由
2、 x = 0的点在 t (x/v) 时刻的振动传播而得到的振动: 平面简谐波具有时空双重周期性,波场中各点随 时间作简谐振动,同一时刻位移函数随空间周期 性分布。将其空间周期计为波长,也就是一次振 动在空间中展开的长度。 平面简谐波 波的相速度就应该是频率f与波长的乘积: 定义波数: 对于相速度: 平面简谐波又有以下表达式: 波面与波线 波场中相位相同的点组 成的轨迹称为波(阵) 面,或者波前。波面上 各点具有相同的振动状 态。 与波面正交的一族线称 为波线,在各向同性介 质中波线代表了振动的 传播方向,也就是相速 度的方向。 平面波、柱面波与球面波 平面波的波阵面为平面,对应波函数: 柱面波
3、的波阵面为柱面,对应波函数: 球面波的波阵面为球面,对应波函数: 平面波、柱面波与球面波 一维波动方程及其通解 波函数满足的方程称为波动方程,经典波动方程 为二阶线性偏微分方程: 方程有两个线性无关的解: 两者的线性组合为方程的通解: 弹性介质的基本性质 杨氏弹性模量 对应拉伸应变: 应力与应变关系: 弹性介质的基本性质 体积弹性模量 对应体形变: 切变模量 对应剪切应变: 一般杨氏模量与剪切模量之间有以下关系: 泊松比 一般在0.30.4,与具体材料有关,可见E 总是大于G两倍以上。 波动方程与相速度的导出 假设波沿x轴传播,质元dm偏移平衡位置的位移为 u。质元dm两端位移量相同代表没有拉
4、伸,对应u 的一阶导数为零。u 的一阶导数为正,介质处于拉 伸状态,为负则为压缩状态,大小正比于受力。 那么质元dm所受合力正比于u的二阶导数。 波的传播方向 横波位移 纵波位移 质元dm 平衡位置 均匀弹性棒中纵波和横波的波动方程 均匀弹性棒的横截面积为S,密度,沿棒取为x方 向。设沿纵向(横向)偏离平衡位置的位移为u。 分析其中任一质元在x-x+dx段,其质量dm=Sdx。 Oxx+dxx FF+dF 根据牛顿第二定律: 根据杨氏/剪切模量的定义,在x处的拉伸/剪切应 力应当为: 均匀弹性棒中纵波和横波的波动方程 Oxx+dxx FF+dF 质元所受合力 根据杨氏/剪切模量的定义,在x+d
5、x处的拉伸/剪切 应力应当为: 由此可得运动方程: 均匀弹性棒中纵波和横波的波动方程 化简后得: 对应的纵波/横波相速度: 弦的横波方程 一弹性弦张力为T,质量线密度为,当其局域有 横向扰动时,便产生一沿弦传播的横波。 弦在x方向上总是没有位移,故有: 弦的横波方程 弦所受合力: 弦的横波方程 根据牛顿第二定律: 波动方程: 相速度: 波场中的动能 由平面简谐波波函数: 体积元的动能: 对比波动方程,可见动能在平衡位置处动能最大 ,在波峰和波谷处动能为零。 波场中的势能 体积元: 弹簧 介质棒 波场中的势能 根据相速度: 波场中的能量 可见在弹性介质中的波动场,其势能与动能的变 化同相,都是在
6、平衡位置势能最大,在波峰和波 谷处势能为零。 对于dV这段弹性介质的总能量为动能和势能之合 : 平均能量密度与平均能流密度 定义波场中单位体积蕴含的能量称为能量密度: 定义单位时间内通过单位截面的能量为平均能流 密度,其单位为W/m2(瓦/米2): 平均能量密度为一个振动周期内能量密度对时间 的平均值,其单位为J/m3(焦/米3): 波的反射 (1)固定端反射 弦的固定端所受合力为零, 当波传播到固定端时,对端 点施加一个作用力,墙要施 加一个等值、反向的作用力 ,从而产生一个从右向左传 播的反射波:振幅与入射波 相同、但是相位正好相差。 (2)自由端反射 此情况下弦的另一端不受约 束,反射波
7、的相位与入射波 同相。 波的反射 一维驻波 设有两列同频简谐波,传播方向相反: 它们的叠加场: 将其改写为: 驻波的振幅 与位置有关 各质点都在作同 频率的简谐运动 波节 波腹波腹波腹 波节 当: 振幅有最大值Amax=2A0 当: 振幅为零。 相邻波腹或波节之间的间距为/2。 波腹 波节 两端固定弦振动的简正模式 两端固定的弦,在某处垂直方向给予 一定的激励,就会产生方向相反的两 列行波,反复传播于弦上最终产生驻 波。 由于弦两端必须是波节,又相邻波腹 或波节之间的间距为/2,因此长为l 的弦上的稳定波长只能有以下离散值 : f1=v/2l 称为基频为最低频率, f2=2f1、f3=3f1
8、为二次谐频、三次谐频 基频 二次谐频 三次谐频 太古遗音琴 唐初贞观年间斫制,长122cm,中央音乐学院藏,师旷式。原黑 漆,大流水断纹。背面龙池上方刻行书“太古遗音”,池下刻篆书“清 和”印,左侧刻“吴景略重修甲子中秋”。古琴音乐主要受儒家中正和 平、温柔敦厚、德音之谓乐和道家顺应自然、大音希声、清微淡远 等思想的影响。 例:古琴 频率 波速 基频 谐频 解:弦两端为固定点,是波节. 千斤 码子 如图二胡弦长 ,张力 . 密度 . 求弦所发的声音的基频和谐频. 例: 附:无限深势阱中的德布罗意波 驻波条件 : 能量量子化: 两端开口的管 一端开口的管 驻波的能量 波节只有势能,波腹只有动能。
9、 当所有各点达到最大位移,全部能量为势能。 当所有各点达到平衡位置,全部能量为动能。 经1/4T,波节附近势能转化为波腹附近动能。 但无长距离的能量传播。驻波! 盘上的驻波 律学 谐和的音:8度 频率比2: 1 5度 频率比3: 2 符合较小的整数比 五音律: 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4 折合进8度 1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16 C(do)、D(re)、E(mi)、G(so)、A(la) 七音律: (2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5 折合进8度 1, 9/8, 81/64,
10、4/3, 3/2, 27/16, 243/128 音名 C D E F G A B C 频率 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 朱载堉(15361611年),字伯勤,号句 曲山人,青年时自号狂生、山阳酒狂仙客 。生于怀庆府河内县(今沁阳市),系明 太祖朱元璋九世孙,仁宗帝的第六代孙, 郑藩王族嫡世,明代著名的律学家、历学 家、数学家。 李约瑟称誉朱氏为“东方文艺复兴式人物”。不过由于 当时乐器制作的条件限制,他的发明并不能用于音乐 实践之中,到后来,连他的学说也或者渐渐给人遗忘 了,或者并不能看出它里面深刻的革命意义。 十二平均律 多普勒效应 当波源s和接
11、收器r有相对运动时, 接收器所测得的频 率 fr 不等于波源振动频率 fs 的现象。 机械波的多普勒效应 参考系:媒质 符号规定: s和r 相互靠近时vs , vr为正 f:波源振动频率,fr:接收频率 r s 波源静止,接收器运动(vS=0) s v 单位时间接收到完整波的个数 相当于单位时间内 波通过接收器的总距离为 波源运动,接收器静止(vr=0) 相当于波通过接收器所在处的波 的波长比原来缩短了 波源、接收器都运动 例:火车以20m/s的速度行驶,若机车汽笛的频率为 500Hz, 问:一静止观察者在机车前和机车后所听到的声音频率 各为多少?已知空气中声波的速率为340m/s。 解: 例:雷达测速仪 V 波源静止,接收器运动(vs=0) 对汽车而言,频率变为: 反射波波源运动,接收器静止(vr=0) 对雷达而言,频率变为: 为原雷达波和 接受到的反射波的拍频 车速: 若拍频为4Hz,雷达发射频率20MHz, 则车速为108 km/h 激波 当波源速度大于波速时 马赫锥波前