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1、第八章 渐近法 8-1 力矩分配法基本概念 8-2 多结点力矩分配 8-3 无剪力分配法 8-1 力矩分配法基本概念 力矩分配法源自位移法，不必求解方程组，只 需按表格进行计算，计算方便、快捷。 力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配） 精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。 力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移的 刚架。 一、转动刚度 a) SAB=4i，远端为固端 下面讨论等截面直杆的转动刚度。 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数 值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时 所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。 施力端为近端 ，另一端为远端。 SAB i A B 当A端产生单位
2、转角时，A端无线位移。转 动刚度SAB只取决于远端支承条件及杆件的线 刚度。 b) SAB=3i，远端为滚轴 支座或铰支座。 d) SAB=0，远端为滚轴 支座，沿杆轴布置。 c) SAB=i，远端为滑动支 座。 SAB iA B SAB iA B SAB iA B 二、分配系数 杆端弯矩表达式： 用位移法求解右图示 结构，未知量为A 。 i i 2i 2i B C A D E M0 平衡方程为： A MAE MAD MAB MAC M0 回代求杆端弯矩： 对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即： 由上式可以看出，结点力偶M0按系数 的比 例分配给各杆端。系数 称为分配系数，某杆 的分配系数
3、等于该杆的转动刚度S与交于同 一结点的各杆转动刚度之和 的比值，即 三、传递系数 当近端有转角时（无线位移），远端弯矩 与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。 在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端 弯矩乘传递系数，即 。 iA B iA B iA B 四、单结点力矩分配 用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上 附加转动约束，锁住B使之不能转动。其产生的 反力矩MB等于各杆端固端力矩的代数和，见图 b) 。 B MB=60kN.m 150kN.m-90kN.m 200kN 20kN/m A B C EIEI 200kN 20kN/m A B C b) a) 其次放松结点B，即在结点B加
4、MB，这 是结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩 分配法进行计算，见图 c）。 A B C c) 2）求固端弯矩 1）求分配系数 结点B约束力矩为： 解： 结点B分配力矩为： 3）运算格式 分配系数 固端弯矩 分配传递 杆端弯矩 4）作弯矩图 A C BA 0.5710.429 BC -150150-90 -34.26-25.74 -167.13 115.74-115.74 0 -17.130 A B C 167.13 115.74 158.56 32.13 M图（ kN.m ） 例题8-1-1 作图示刚架 M 图。 1）求分配系数 12kN 6kN/m I I(i) (i) 2I (2i)
5、A B C D 解： MB B 9 -8 2) 求固端弯矩 结点约束力矩为： 分配力矩为： 3) 运算格式 BA 0.2310.462 BC 0.307 BD D A C 89-8 01.382.084.162.76 0 11.084.169.38 -5.24 0 4) 作弯矩图 5) 讨论 若结点力矩为逆时针方向，则： MB B 9 -8 A B C D 11.08 5.24 9.38 4.16 4.69 6.46 M图（ kN.m ） 例8-1-2 讨论悬臂端的处理。 200kN20kN/m A BCEIEI 30kN Da) 30kN D C 200kN20kN/m A BCEIEI b
6、 ) 解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向 的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。 BA 0.5710.429 BC -51.39 -38.61 A CD -150 150-90 60-60 -175.7098.61 -98.6160-60 30 -25.70 0 C i BC M 图（ kN.m ） 175.70 98.61 60 A B C 162.85 10.70 D 8-2 多结点力矩分配 一、多结点力矩分配 1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。 结点约束力矩： A B C EI EI D 60kN EI A B C D 60kN -3030 EIEI
7、 EI 2）放松结点B，即在结点B施加力矩-MB ，结 点C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分 配。 结点C约束力矩变为： BCD 157.515 7.5 A 3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C 施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩 分配。 结点B新的约束力矩为 -9.375 A B C D -18.75 -9.375-18.75 4）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施 加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分 配。 结点C约束力矩变为 如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接 近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。 所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩 分配。通常各结点做两轮
8、至三轮分配运算，就 可以达到满意的精度。 A B C D 4.6882.3444.688 2.344 结点B 例8-2-1 作图示刚架M 图。 1) 求分配系数 结点C 解： 18kN/m 4I4 I(2i ) (i) 4I (i) B E D A 6kN/m 2 I (2i/3) C 2) 求固端弯矩 18kN/m 4I4 I(2i ) (i) 4I (i) B E D A 6kN/m 2 I (2i/3) C 3) 运算格式 E A D BA 0.20.4 BE 0.4 BCCB 0.6670.333 CD -242484 -8-16 -8 4.89.69.6 -1.6-3.2 -1.6
9、0.320.640.64 -0.107-0.213 4.8 -4.8 4.8 0.32 -0.32 0.32 13.1210.24-23.36-1.129.71-9.71 5.12 4) 作弯矩图 小结： 1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开 始，这样收敛较快。 2）若停止分配运算，就不应再向中间结点 的杆端传递弯矩。 B E D A C 1.12 13.12 23.36 10.24 5.12 9.71 19.47 M图（ kN.m ） 例8-2-2 结构力学教程（）第456 页例8-4的说明（2000年7月第1版）。 A BC D EIEI 5ii 50kN 1 0 5/6 1/6 -50
10、 50 25 -4.2 -20.8 -20.8 20.8 50-50 AD B C 说明： 1）在计算B结点各杆的分配系数时，C结点 不锁住， 即C结点处看作铰支座。 2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。 3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方 法。 D 50kN C A B C EIEI 5ii 二、几个问题的讨论 1. 对称结构的计算 对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移， 可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨 论，取半边结构以简化计算。 A B q2 q1 q1 A B q2 此杆转动刚度S=0 2. 多结点时的分配 下图示结构，锁住结点C， 放松结点B、 D，即
11、结点B、D同时分配并向结点C传递。 然后锁住结点B、D，放松结点C，即结点C 进行分配并向B、D传递，依此类推。 3/74/7 0.50.5 4/73/7 BCD A E -17.14-12.8634.29 45.7122.86-8.57 -32.15 -32.15 -50 8 050-80 -16.07 -16.07 下图示刚架，打的结点为一组，其余为另 一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快 计算速度。 8-3 无剪力分配法 力矩分配法只适用于无侧移刚架或连续梁。 因为若刚架的内部结点有侧移，则力矩分配 法中的分配关系和传递关系均不能成立。 有一类刚架，其内部结点虽然有线位移， 但可以不
12、取作位移法的基本未知量，对这类 刚架也可以求得类似于力矩分配法中的分配关 系和传递关系，于是可以按照力矩分配法的格 式进行计算，此即为无剪力分配法。 一、概述 二、基本概念 1适用无剪力分配法的条件 1）刚架除两端无相对侧移的杆件外； 2）其余杆件为剪力静定杆（即剪力只取决于 外荷载）。 若结构中只存在下列两类杆件，则适用于 无剪力分配法。 下面用位移法解上题，基本未知量取B ，BH 不必作为未知量。 2无剪力分配法的概念 锁住结点B放松结点B原结构 产生固端弯矩约束力矩反号分配 q A BC EI，l EI，l q A BC MB（约束力矩） i A BC -MB i A B i 杆端弯矩表
13、达式 位移法方程 弯矩图 M图 A BC 由上面的讨论可得出如下结论： 1）剪力静定杆AB在B端的转动刚度为SBA=iBA, 传递系数为CBA= -1。 2）剪力静定杆AB的固端弯矩按下端固定、上 端滑动的单跨梁查表求得。 q A B 下面用无剪力分配法解上题。 1）求转动刚度及分配系数 2）求固端弯矩 q A B C EI，l EI，l 3）运算格式 A C BA 0.250.75 BC -ql2/6 ql2/24 ql2/8 -ql2/3 -ql2/24 -ql2/8 ql2/8 -3ql2/8 弯矩图见前页。 如右图示，放松结点B， AB杆剪力等于零。 小结： 1）在放松结点B，即约束力
14、矩MB反号分配的 始终，剪力静定杆之剪力始终等于零，所以 称为无剪力分配法。 2）若刚架横梁的两端无相对侧移，柱的剪力 静定，则该刚架可用无剪力分配法计算。 i A BCi 3）对于剪力静定杆： 转动刚度S= i； 传递系数C= -1； 按下端固定，上端滑动的单跨梁求固端 弯矩。 三、双层半刚架 横梁AB、CD两端 无相对侧移，柱AC 、CE为剪力静定杆 。 AB C D E 4kN 2kN 3kN/m i i i i 锁住结点A、C 产生固端弯矩。 A B C D E 4kN 2kN 3kN/m 求固端弯矩 C A 4kN 3kN/m E C 18kN 放松结点 锁住结点 i i AB C
15、D E 放松结点 锁住结点C AB C D E i 由上述讨论可以得到和单层半刚架中的剪 力静定杆相同的结论： 1）剪力静定杆的固端弯矩仍按下端固定， 上端滑动的单跨梁求解。上层柱所受的水平 荷载会在下层柱中产生固端弯矩，下层柱应 首先求出柱上端的剪力，此剪力要作为集中 荷载加在滑动端求固端弯矩。 2）剪力静定杆的转动刚度及传递系数仍旧 为： 转动刚度 S=i ， 传递系数 C= -1。 结点A 结点C 例8-3-1 用无剪力分配法作半刚架的M图。 1）求分配系数 解： AB CD E i i i i 4kN 2kN 3kN/m AC柱 CE柱 2) 求固端弯矩 C A 4kN 3kN/m E C 18kN 3) 运算格式 B D E 1.050.35 AC 0.250.75 AB 0.20.20.6 CA CECD -0.35 -16 -12 -24-36 1.4 1.4 4.2 -1.4 -1.4 -36 0.070.070.21 -0.07 217 12 12 36 -7 -12 -22.05 22.05 -17.88-22.53 40.41 -49.47 EC 4) 作弯矩图 AB D E 22.05 17.88 22.53 49.47 40.41 8.09 M图（ kN
