平面任意力系的平衡.

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1、 2-4.平面任意力系的平衡条件与平衡方程 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的必要和充分条件是: 力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零. FR = 0MO = 0 一. 平面任意力系的平衡方程 (a) 基本形式（一力矩式） F xi = 0 F yi = 0 mo(Fi) = 0 1 (b)二力矩式 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直. (c)三力矩式 三个矩心A ,B 和 C不在一直线上. mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0 mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0 2 三力矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上 三个独立方程，只能求出

2、三个未知数。 基本形式 二力矩式 条件：x 轴不 AB 连线 两投影轴可以不垂直（但不能平行）；矩心也可任选，不一定 坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。 采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。 mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0 mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0 3 例题2-3. 在水平梁AB上作用一力偶矩为m 的力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它 与水平的夹角为, 如图所示.梁长为 l 且自 重不计.求支座A和 B的反力. l /2l /2 AB C m P 4 解:取水平梁AB为研究对象画受力图. FAx

3、FAy F xi = 0 FAx - P cos = 0 FAx= P cos mA(Fi) = 0 F yi = 0 FAy - P sin + FB = 0 l /2l /2 AB C m P FB 5 O P A FB B FD D (b) J FD K FB P I (c) 解：解法一： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 P 24 6 A C B O E D (a) (3) 应用平衡条件画出P、FB 和FD 的闭和力三角形。 例题2 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的 力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BE水平，AD 铅直，试求拉

4、杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直 线DA上，又B、E、D都是光滑铰链，机构的自重不计。 6 （5） 代入数据求得： FB=750 N。 （4）由几何关系得： 由力三角形可得： P 24 6 A C B O E D (a) O P A FB B FD D (b) J FD K FB P I (c) 7 列出平衡方程： 联立求解，得 O 45 P FB FD D (b) x y 又 解法二：建立图示坐标系 8 例题2-4.图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m, 高0.8m ,壁及底厚10cm水深为50cm.求1m长 度上支座的约束反力.槽的单位体积重量 ( = 24.5kn/m.

5、) 0.5m 0.8m 1m A B C 9 解:取水槽为研究对象画受力图. FAx W1 = 24.5110.1 = 2.45 kN W2 = 24.510.70.1 = 1.715 kN F = 0.5(19.80.5) 0.51 = 1.225 kN W = (19.8)10.9 0.5 = 4.41 kN 0.5m 0.8m 1m A B C 0.5m FAy mA W1 W2 F d 0.45m W 0.45m 10 利用平衡方程求解: FAx + F = 0 FAx = - 1.225 kN Fyi= 0F At - W - W1 - W2 = 0 FAy= 8.575 kN mA

6、(Fi) = 0 mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0 mA = 5.043 kN.m F xi = 0 FAx 0.5m 0.8m 1m A B C 0.5m FAy mA W1 W2 F d 0.45m W 0.45m 11 例题2-5. 一容器连同 盛装物共重W=10kN, 作用在容器上的风荷 载q=1kN/m,在容器的 受力平面内有三根杆 件支承.求各杆所受 的力. 2m 2m W q AB CD 30o 30o 30o 30o 60o 12 解:杆件AD,AC和BC 都是二力杆.取容器 为研究对象画受力 图 Q FAD FAC

7、 FBC Q = 12 = 2 kN 2m 2m W q AB CD 30o 30o 30o 30o 60o E 1m 13 利用平衡方程求解: -21 - 101 - FBC cos30o2 = 0 FBC = - 6.928 kN mA(Fi) = 0 Q FAD FAC FBC 2m 2m W q AB CD 30o 30o 30o 30o 60o E 1m 14 mC(Fi) = 0 102 - 2(1+2 cos30o) + FAD 4 cos30o = 0 FAD = - 4.196 kN Q FAD FAC FBC 2m 2m W q AB CD 30o 30o 30o 30o

8、60o E 1m 15 mE(Fi) = 0 2 (2 cos30o -1) + 2 FAC = 0 FAC = - 0.732 kN Q FAD FAC FBC 2m 2m W q AB CD 30o 30o 30o 30o 60o E 1m 16 平面一般力系的解题步骤： 1.选取研究对象 2.画受力图 3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与力特别是未知力垂直 ，矩心尽可能选在力特别是未知力的交点上，以使每个方程 中的未知量的数目最少。 4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立 方程。 此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。 17 二、平面汇交力系的平衡方程 O x y 图示平

9、面汇交力系，取汇交点O为简化中心，则 于是，由平面一般力系平衡方 程的基本形式，得平面汇交力 系的平衡方程： FXi=0 FYi=0 18 三、平面平行力系的平衡方程 图示平行力系， x y 取如图所示直角坐标系，则 FXi0 于是，由平面一般力系平衡方程的 基本形式及二力矩式，得平面平行 力系的平衡方程： FYi=0 基本形式 二力矩式 O AB连线不能平行 于各力的作用线 19 四、平面力偶系的平衡方程 因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即 FXi0 FYi0 所以，有平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面 力偶系的平衡方程： mi=0 20 例6 在一钻床上水平放置工件,在工件上

10、同时钻四个等直 径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为 根据mi=0有: 由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。 21 2-7.静定与静不定问题.物体系统的平衡 (1)静定与静不定问题 对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平 衡方程的数目.则应用刚体静力学平衡的理论,就可以求 得全部未知量,这样的问题称为静定问题. 若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单 独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量, 这样的问题称为静不定问题. (2)物体系统的平衡 22 物体系统是指由若干个物体通过适当的约 束相互连接而组成

11、的系统. 解静定物体系统平衡问题的一般步骤: (a)分析系统由几个物体组成. (b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个 体为研究对象进行受力分析并画受力图. (c)列平衡方程并解出未知量 23 例题4-7.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图 所示.已知: F =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求 铰链支座A和B的约束反力. 1m 2m2m 3m A B C q F 24 解:取整体为研究对 象画受力图. FAx FAy FBx FBy mA(Fi) = 0 - 4 3 1.5 - 20 3 + 4 FBy= 0 FBy = 19.5 kN F yi = 0FAy - 20 + 19.5

12、= 0FAy = 0.5 kN 1m 2m2m 3m A B C q F F xi = 0 43+FAx+FBx = 0 (1) 25 取BC为研究对象画受力图. FCx FCy 1m 3m B C F FBx 19.5kN mC(Fi) = 0 -120 + 219.5 + 3 FBx = 0 FBx = - 6.33 kN (2) 把(2)式代入(1)式得: FAx = - 5.67 kN 26 例题4-8.组合梁ABC的支承与受力情况如图 所示.已知 :F= 30kN, Q = 20kN, = 45o.求支 座A和C的约束反力. 2m2m2m2m F Q ABC 27 解:取整体为研究对

13、象画受力图. F xi = 0 FAx - 20 cos45o = 0FAx = 14.14 kN Fyi = 0 FAy - 30 - 20 sin45o + FC = 0 (1) 2m2m2m2m F Q ABC FC FAx FAy mA mA(Fi) = 0mA - 230 - 620sin45o +8FC = 0 (2) 28 取BC杆为研究对象画受力图. 2m2m Q B C FBx FBy FC mB(Fi) = 0 - 220sin45o +4FC = 0 FC = 7.07 kN (3) 把(3)式分别代入(1)和(2)式得: FAy = 37.07 kNmA = 31.72

14、 kN.m 29 例题4-9.构架的尺寸及 所受荷载如图所示.求铰 链E和F的约束反力. 2m2m2m 2m 2m 2m A B C D E F G 500N 500N 30 解:取整体为研究对象画 受力图. 2m2m2m 2m 2m 2m A B C D E F G 500N 500N FAx FAyFB F xi = 0 -FAx + 500 = 0 FAx = 500 N 31 取AEGC杆为研究对象 画受力图. 2m 2m 2m A C E G 500N 500N FAy FEx FGx FEy FGy mG(Fi) = 0 2500 - 2 FEx + 4500 = 0 FEx =

15、1500 N 32 取DEF杆为研究对象画受力图. FEy FFx FFy 1500N F xi = 0 FFx - 1500 = 0 FFx = 1500 N mE(Fi) = 0 2500 + 2FFy = 0 FFy = - 500 N Fyi = 0 - 500 - FEy + (-500) = 0 FEy = - 1000 N 500N 2m2m D E F 2m 2m 2m A C E G 500N 500N FAy FEx FGx FEy FGy 33 例题4-10.求图示构架在水平力F作用下支座A和B 的约束反力. F a a aa A B CD E F G H 34 解:取整体为研究对象. F a a aa A B CD E F G H 35 画整体受力图. FAx FBx FBy mA(Fi) = 0 2aF By - 2aF = 0 F By = F F yi = 0 FAy+ F= 0 FAy = - F Fxi = 0FAx + FBx + F = 0 (1) F a a aa A B CD E F G H