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1、数量关系 第七章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 点, 线, 面 基本方法 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七章 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念 向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
2、 有向线段 M1 M2 ,或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 ab ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则 : 运算规律
3、 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的减法 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 向量与数的乘法 是一个数 , 规定 : 可见 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) 证: “ ”., 取 且 再证数 的唯一性 .则 ab 设 ab 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 a 同向, 设又有 b a , 机动 目录 上页 下页
4、 返回 结束 “ ” 则 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 已知 b a , b0 a , b 同向 a , b 反向 ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点
5、O(0,0,0) ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴 : 坐标面 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算 设则 平行向量对应坐标成比例: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 解: 2 3 , 得 代入得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为
6、 如图所示 及实数 得 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 ,于是得 中点公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求证以 证: 即为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 在 z 轴上求与两点等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2)
7、如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 设动点为利用得 (2) 设动点为利用 得 且 例6. 已知两点和 解: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向余弦的性质: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 已知两点和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向
8、量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 设点 A 位于第一卦限, 解: 已知 作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 角依次为求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故于是 故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 解: 因 1. 设 求向量在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量. 在 y 轴上的分向量为 故在 x 轴上的投影为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设求以向量 行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解 ： 为边的平 机动 目录 上
9、页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当时, 显然成立 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.
10、证明三角形余弦定理 证: 则 如图 . 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示 设则 当为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知三点 AMB . 解: 则 求 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为 ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平 面域 ,与该平面域的单位垂直向量 解: 单位时间内流过的体积 的夹角为且 为单位向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右
11、手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质 为非零向量, 则 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 向量积的坐标表示式 设则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法 ( 行列式计算见 P339P342 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.
12、 已知三点 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度 例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其 在 l 上任取一点 O,作 它与 则 点 M离开转轴的距离 且符合右手法则 的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 , 向径 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积 1. 定义 已知三向量称数量 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 混合积的坐标表示 设 机动 目录
13、 上页 下页 返回 结束 3. 性质 (1) 三个非零向量共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 证明四点 共面 . 解: 因 故 A , B , C , D 四点共面 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积: 2. 向量关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思
14、考与练习 1. 设 计算并求 夹角 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 由三角形面积公式 所以 因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 已知向量的夹角 且 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为 三角形中, 求 AC 边上的高 BD . 解： 三角形 ABC 的面积为 2. 而 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面 第三节 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第七章 一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程. 机动 目录
