理论力学第7章(点的合成运动).

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1、理论力学 1 第七章 点的合成运动 点和刚体相对一个定参考系的运动。 点的运动在直角坐标和弧坐标描述； 刚体简单运动为：平动和定轴转动。 物体相对于不同参考系的运动是不相同的。 运动的分解与合成： 研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同 参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。 本章分析点的合成运动。分析运动中某一瞬时点的速度 合成和加速度合成的规律。 理论力学 2 点的运动对于不同的参考系是不同的 1) 图示沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点的运动。 对地面上的观察者： 点的轨迹是旋轮线 对车上的观察者： 点的轨迹则是一个圆。 7-1 点的合成运动概念 理论力学 3 2)图示

2、桥式吊车，卷扬小车 A边垂直起吊重物边行走。 重物作曲线运动 随小车一起运动的观察者： 重物在在垂直方向作直线运动 地面观察者： 理论力学 4 车轮上点： 对于地面，沿旋轮线运动； 以车厢为参考体，点对于车厢的 运动是简单的圆周运动； 车厢对于地面的运动是简单平动。 点的运动就可以看成两个简单运 动的合成. 即点相对于车厢作圆周运动; 同时车厢对地面作平动. 合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动 观察发现： 点在一个参考体中的运动可以由几个运动组合而成。 理论力学 5 三种运动 （1）动点相对于静参考系的运动称为绝对运动 （2）动点相对于

3、动参考系的运动称为相对运动 （3）动参考系相对于静参考系的运动称为牵连运动 两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 表示。 动点：要研究的点 一个动点；两个坐标系；三种运动 理论力学 6 上例：车轮上点为动点，在车厢看到点作圆周运动是动 点的相对运动，在地面上看到点的运动是旋轮线，是动点 的绝对运动。车对地面作平动，是牵连运动 绝对运动和相对运动是指点的运动。 牵连运动是指参考体的运动。刚体的运动：可能是平动， 转动或复杂运动 理论力学 7 动点相对于动参考系运动的轨迹、速度、加速度 称为相对轨迹、相对

4、速度和相对加速度 动点相对于静参考系运动的轨迹、速度、加速度 称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度 动点的牵连速度、牵连加速度指某瞬时动参考系上与动点 重合点的速度和加速度 符号： 动点的相对速度和相对加速度 动点的绝对速度和绝对加速度 动点的牵连速度、牵连加速度 relative embroil absolute 理论力学 8 动 点 静 系 动 系 绝对运动 相对运动 绝对速度 绝对加速度 相对速度 相对加速度 点的运动 固结于地面上的坐标系 固结于相对于地面 运动物体上的坐标系 绝对轨迹 相对轨迹 牵连运动 动系相对于静系的运动 刚体运动 理论力学 9 动 点动 系 不同瞬时，动点在 动系

5、中的位置不同 。 牵连点 设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起 运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体 的拖带或牵连而产生的速度和加速度。 相对运动 牵连点是动系上的点，不同瞬时牵连点不同！ 在某瞬时，动系中 与动点相重合的点。 牵连点对静系的速度和加速度分别称为 的牵连速度 与牵连加速度 。动点 理论力学 10 动点： AB杆上A点 动系：固结于凸轮上 静系：固结在地面上 凸轮顶杆机构 理论力学 11 绝对运动：铅直运动 相对运动：曲线(圆弧)运动 牵连运动：凸轮直线平移 理论力学 12 绝对速度 ：相对速度 ：牵连速度 ： 理论力学 13 绝对加速度： 相对加速度： 牵连

6、加速度： 理论力学 14 绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线 牵连运动：定轴转动 圆轮摇杆机构 动点：A（在圆盘上) 动系：OA摆杆 静系：机架 理论力学 15 摇杆滑道机构 绝对运动：点A的水平直线运动； 相对运动：点A沿OB轴线的运动； 牵连运动： OB杆的定轴转动。 动点:销子A (CD上); 动系: 固结于OB。 理论力学 16 曲柄滑块机构 动点:O1A上A点; 动系:固结于BCD上。 绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动; 牵连运动： BCD平移 动点: BCD上的套筒F点; 动系:固结于O2E上。 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 再选 理

7、论力学 17 建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。 当t t+t AB AB M M 也可看成M M M MM 为绝对轨迹 MM 为绝对位移 M1M 为相对轨迹 M1M 为相对位移 将上式两边同除以 后， 时的极限，得取 一、证明 7-2 点的速度合成定理 理论力学 18 说明：va动点的绝对速度； vr动点的相对速度； ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 动系作平移时，动系上各点速度都相等; 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。 理论力学 19 求解合成

8、运动的速度问题的一般步骤为： 选取动点，动系和静系； 三种运动的分析； 三种速度的分析； 根据速度合成定理 作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。 理论力学 20 动点、动系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体 ，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动。动点不能是动系上的点。 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外） 理论力学 21 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例

9、例 桥式吊车 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。 理论力学 22 作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为 解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。 由速度合成定理： 理论力学 23 解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系， 基座为静系。 绝对速度 va = r ，方向 OA 相对速度 vr = ? ，方向/O1B 牵连速度 ve = ? ，方向O1B （ ） 例

10、曲柄摆杆机构。已知：OA= r , , OO1=l。图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1 由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。 理论力学 24 由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。 解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向/AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA 例3 圆盘凸轮机构 已知：OCe , , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。 理论力学 25 动点：AB杆上的A

11、点 动系：偏心轮 绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动 理论力学 26 铰接四边形铰接四边形 O O1 1 A=OA=O 2 2B B =100mm=100mm， O O1 1O O2 2 =AB=AB，杆，杆 O O1 1A A 以等角速度以等角速度 =2rad/s=2rad/s绕轴绕轴 O O1 1 转动。转动。 ABAB杆上有一套筒杆上有一套筒 C C ，此套筒与杆此套筒与杆CDCD相铰接，相铰接， 机构的各部件都在同一铅垂平面内。机构的各部件都在同一铅垂平面内。 试求试求: :当当 =60=60 时， 时，CDCD杆的速度。杆的速度。 绝对运动：上下直线运动；绝对

12、运动：上下直线运动； 相对运动：沿相对运动：沿ABAB直线运动；直线运动； 牵连运动：牵连运动：铅垂平面内曲线平移铅垂平面内曲线平移。 解：解：1. 1. 运动分析运动分析 动点：动点：CDCD上的上的C C点点；动系：固连于；动系：固连于ABAB杆。杆。 2. 2. 速度分析速度分析 v ve e = =v v A A= =O O1 1A A =0.2m/s,=0.2m/s, v vCD CD = =v va a= = v v e e coscos =0.1m/s=0.1m/s v va a = =v v e e + + v vr r 理论力学 27 动 点 静 系 动 系 绝对运动 相对运

13、动 绝对速度 绝对加速度 相对速度 相对加速度 点的运动 固结于地面上的坐标系 固结于相对于地面 运动物体上的坐标系 绝对轨迹 相对轨迹 牵连运动 动系相对于静系的运动 刚体运动 理论力学 28 动 点动 系 不同瞬时，动点在 动系中的位置不同 。 牵连点 相对运动 牵连点是动系上的点，不同瞬时牵连点不同！ 在某瞬时，动系中 与动点相重合的点。 牵连点对静系的速度和加速度分别称为 的牵连速度 与牵连加速度 动点 理论力学 29 说明：va动点的绝对速度； vr动点的相对速度； ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 动系作平移时，动系上各点速度都相等; 动系作转动时，ve必须是该瞬时

14、动系上与 动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。 理论力学 30 动点、动系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体 ，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动。动点不能是动系上的点。 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外） 理论力学 31 由于牵连运动为平动，故 由速度合成定理 对t求导 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线 AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平移 。 7-3 牵连运动为平动时

15、点的加速度合成定理 理论力学 32 (其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它 们的方向不变，是常矢量，所以 ） 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于 牵连加速度与相对加速度的矢量和。 一般式可写为： 理论力学 33 加速度求解步骤 1. 取动点，动系 2.分析三种运动 3. 速度分析 4.加速度分析 理论力学 34 解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。 例 已知：凸轮半径 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。 理论力学 35 由速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示。 绝对速度va = ? , 方向/AB ；绝对加速度aa=?, 方向/AB，待求 。 相对速度vr = ? , 方向CA; 相对加速度art