船舶流体力学课件4.

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1、主讲教师：孙 雷 宗 智 船舶工程学院船舶工程学院 B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.6 积分形式的能量方程 B4 积分形式的基本方程 B4 积分形式的基本方程 积分形式的流体力学基本方程描述空间有限体积域上的流体运动 规律，主要涉及流体质量、动量 、动量矩和能量等物理量在有限体积 域上的积分值（广延量）随时间和位置的变化规律，它在工程上有广 泛应用。 p主要内容：流体系统的随体导数；积分形式的连续性方程、动量 方程、动量矩方程和能量方程及其应用，伯努利方程及其

2、应用等。 重点：（1）有限控制体分析，输运公式； （2）有多个一维出入口的控制体上的连续性方程； （3）伯努利方程； （4）有多个一维出入口的控制体上的定常动量方程等。 B4.1 流体系统的随体导数 p 系统广延量 由于 为流体系统内物理量的空间分布函数，在系统（ system）上积分： 称为系统广延量。当 取密度、动量、动量矩和能量函数 时，分别可得系统质量、系统动量、系统动量矩和系统能 量等。 p 控制体广延量 控制体表面为CS，一流体系统sys（实线包围区域）在 t 时刻刚好与控制体重合，以后流体系统可以与控制体形状 不同。右图为控制体形状变化示意图： B4.1 流体系统的随体导数 p

3、有限控制体分析，输运公式 在流场中取一固定不变形的有限控制体 CV （图中虚线包围的区域） B4.1 流体系统的随体导数 t 时刻物理量的空间分布函数（单位体积之值），在系统上的积分 控制体 控制面 由时间导数的定义，系统广延量的时间导数可表示为 由于控制体积分区域 可分割成数块， B4.1 流体系统的随体导数 右端第一项代表控制体广延量对时间的导数 B4.1 流体系统的随体导数 右端第三项代表单位时间内通过控制面流出控制体的广延量（正值） 右端第二项代表单位时间内通过控制面流入控制体的广延量（负值） B4.1 流体系统的随体导数 将I，II，III式代入原系统广延量的时间导数公式，并用 D/

4、DT代替d/dt 上式被称为雷诺输运公式，简称输运公式。 将II与III相加可得 上式代表单位时间内通过控制面净流出控制体的广延量。 类似于流体质点的随体导数（质点导数）概念，用控制 体上的欧拉坐标表示流体系统的随体导数，关系式为： B4.1 流体系统的随体导数 表示系统与控制体重合时系统广延量对时间的随体导数，又称 系统导数； 表示控制体广延量随时间的变化率，又称当地变化率，反映流 场的不定常性（定常时为零）； 表示通过控制面净流出控制体的广延量流量，又称为迁移变化 率，反映流场的不均匀性（均匀时为零）。 p 定常流场输运公式 上式表明在定常流场中，当系统与控制体重合时，系统 广延量的变化只

5、取决于控制面上的流动，与控制体内的 流动无关（见下图）。 B4.1 流体系统的随体导数 思考题：运输公式： 是对固定控制体导出的，若控制体作匀速运动 时，下面哪个结论是对的： （A）仍然适用； （B）不再适用； （C）形式不变，但需将迁移项中v改为相对速度vr。 B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 上式称为积分形式的连续性方程，适用于任何流体的 定常和不定常流动。 设 ，系统质量为 根据质量守恒定律： 由输运公式可得： 上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流 体质量随时间的减少率。 B4.2.1 固定控制体 p 不可压缩流体 实际上，对固定不变形的控制体，上

6、面式子中的当地项中 微分和积分运算可变换，迁移项中 为绝对速度。 当密度为常数时，式中当地项为零，迁移项中密度项可消去 ，得 上式的物理意义是：对不可压缩流体的流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的体积流量恒为零。 对不可压缩流体一维流管流动 B4.2.1 固定控制体 令截面1,2上的流量大小分别为Q1, Q2，由流量公式可得 由平均速度公式可得 早在16世纪初，达.芬奇就发现了这一规律。 B4.2.1 固定控制体 若控制面上有多个出入口，设出入口的流量大小为 Qout, Qin，由前面的公式可得 思考题： 对于连续性方程： 的说法，下列哪个是对的（ ） （A）仅适用于不可压缩流体的定常流动

7、的； （B）也适用于不可压缩流体的不定常流动； （C）适用于任何流体的定常流动。 B4.2.1 固定控制体 p 可压缩流体定常运动 B4.2.1 固定控制体 对密度可变流体的定常流动，可得 上式的物理意义是：对可压缩流体定常流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的质流量恒为零。 对一维流管流动，设出入口的质量流量大小分别为 和 ，从质量流量公式可得 B4.2.1 固定控制体 对有多个出入口的控制面上的定常流动，由前面的 公式可得 例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血液从升主动 脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约 180，主动脉弓上

8、分支出头臂干动脉2，左颈 总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面均 为圆形，管直径分别为d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量 分别为Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。 试求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。 解：由取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按 不可压缩流体处理，由式 Qout=QinQ1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5 例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 （1）管2的流量为 Q2

9、= Q1(Q3 + Q4 + Q5) = Q1(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min （2）各管的平均速度为 B4.2.2 运动控制体 无论是惯性系还是非惯性系，只要将迁移项中的速度改 为相对于控制体的相对速度，即可得运动控制体形式的连续 性方程： 对具有多个一维出入口的定常流动为 上两式常在旋转控制体（如流体机械）中运用。 思考题： 所谓非惯性系是仅指： （A） 做加速运动的控制体； （B） 做匀角速度旋转的控制体； （C） 做非匀角速度旋转的控制体； （D） 包括以上三个答案。 B4.2.2 运动控制体 相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动

10、的参 考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地 球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力 学问题。 已知：下图为洒水器示意图。臂长R=150mm，喷水管面积 A=40mm2，喷口偏转角 水从中心转轴底部流入， 总流量Q=120mL/s，从两喷口流出。喷管角速度为 =500转/分 求：（1）管内水流的相对速度Vr。 （2）管口水流的绝对速度V。 解：取包围喷管，并与喷管一起旋转的控制体，如图中虚线所示。对站在 控制体上的观察者而言，水以速度Vr沿两支喷管做定常直线流动。由 下式： 例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程 可得 水为不可压缩流体 ，且 ，由两臂对称方程

11、，上式化为： 管内相对速度为： 喷口的牵连速度为： 由喷口的速度矢量合成，绝对速度为： 例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 伯努利方程首次以动能与压强势能相互 转换的形式确定了流体运动中速度与压强之 间的关系。 伯努利方程由伯努利（D.Bernouli， 1738）首先提出，后来由欧拉（L.Euler）完 善其理论推导过程。 B4.3.1 沿流线的伯努利方程 p 沿流线的欧拉运动方程 在无粘性流体的重力流场中沿流线S取一圆柱形体积元控 制体（如图）,控制元长s, 端面面积为A; 两端面上的压 强分别为p和p + p,重力为gAs, 在流线切线方向（即速

12、 度方向）运用牛顿第二定律可得 整理后取极限可得： B4.3.1 沿流线的伯努利方程 由几何关系 将流体元的加速度表达为欧拉形式 代回原式得： 式中 s为流线坐标，z为高度坐标，p为圆柱形体积元端面 压强， v为圆柱形体积元速度。 B4.3.1 沿流线的伯努利方程 将上式沿流线积分，可得： 常数（沿流线） 上式为无粘流体沿流线作不定常运动时的积分方程。 上式为无粘流体沿流线运动的微分方程，又称 一维欧拉运动方程。 p 伯努利方程及其限制条件 当无粘性不可压缩流体沿流线做定常运动时，一维欧拉方 程沿流线的积分形式可化为： 伯努利方程的限制条件： 定常流动； 无粘流体（忽略粘性影响）； 不可压缩流

13、体； 沿流线。 B4.3.1 沿流线的伯努利方程 上式称为伯努利方程,式中c为常数。 p 伯努利方程的物理意义 表示单位质量流体的动能、位能和压能之和沿流线保持 常数，即： 表示单位质量流体所具有的动能 表示单位质量流体所具有的位置势能 表示单位质量流体所具有的压强势能 表示单位质量流体所具有的总能（常数） 动能+位能+压能=常数 B4.3.1 沿流线的伯努利方程 伯努利方程是无粘性不可压缩流体在重力场中沿流线作 定常流动时的机械能守恒方程。 思考题：伯努利方程的限制条件是：定常无粘 性不可压缩和沿流线。实际上在推导 伯努利方程过程中未言明的还包括以下条 件：（ ） （A）无旋流动； （B）等

14、熵流动； （C）无机械能输入输出。 B4.3.1 沿流线的伯努利方程 B4.3.1 沿流线的伯努利方程 伯努利方程的条件虽然苛刻，但揭示的规律可应用 于实际流动中去，例如解释河道流动规律，虹吸管 原理及机翼升力产生原因等。 已知：流体密度为，U形管内液体密度为m，液位差读数为 h 求：来流速度v与这些参数的关系式。 例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强 说明：皮托测速管由法国人H. Pitot发 明。结构示意图如下，由粗细两根同 轴管子组成，细管（直径约1.5mm） 前端开口（O点），粗管（直径约 8mm ）在距前端适当长距离处的侧壁 上开数个小孔（B点），在孔后足够 长距离处两管弯成

15、柄状，两管的压强 被引入U形测压计中。测量时管轴线 需沿来流方向放置。 解：设流动符合无粘性不可压缩定常流动条件，从皮托管正前方的A点沿 端点O至侧壁孔B是一条流线AOB（常称为零流线）。设A点的速度 为v，压强为p ，沿流线AO伯努利方程为 例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强 (a) 在管端点O，流体速度降至零 ，称为 驻点（或滞止点），p0 被称为驻点压 强，U形管右支管测到的为驻点压强。 由于zA=zO ，由(a)式得： (b) 例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强 因 vB=v，故pB=p ，U形管左支管测到的为当地静压强。U形管内静力 学关系是 (d) 对流线上A,B两点，忽略其高度差，伯努利方程可表示为 上式中右端第二项称为动压强，指流体质元的动能全部转化为压强 势能时应具有的压强。（b）式表明驻点压强为静压强和动压强之 和，故又称为总压强。由（b）式动压强可表示为 (c) 例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强 (g) k 称为皮托管系数，由标定测量后确定。 实际流体有粘性，实际速度比(f)式略小，应加以修正： 由(c), (d)两式可得 (e) (f) 已知：图中所示一大的敞口贮水箱，侧壁下部开一小孔，孔与 液面的垂直距离h（淹深）保持常数（水位不变），孔口 面积