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1、数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 第二章 初等模型 2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 2.1 公平的席位分配 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815
2、6.615 3.570 21.000 21 问 题 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 比 例 加 惯 例 对 丙 系 公 平 吗 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙
3、 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 “公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105
4、p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1 p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 虽二者的绝对 不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 “公平”分配方
5、法 若 p1/n1 p2/n2 ，定义 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算rB(n1+1, n2) 应计算rA(n1, n2+1) 若rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 刹 车 距 离 反应
6、时间 制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比 ，使汽车作匀减速运动。 车速 常数 反 应 距 离 制 动 距 离 司机 状况 制动系统 灵活性 常数 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2F m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 反应时间 t1的经验估计
7、值为0.75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 模 型 最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间 车速 (英里/小时) (英尺/秒) 实际刹车距离 （英尺） 计算刹车距离 （英尺） 刹车时间 （秒） 2029.342（44）39.01.5 3044.073.5（78）76.61.8 4058.7116（124）126.22.1 5073.3173（186）187.82.5 6088.0248（268）261.43.0 70102.7343（372）347.13.6 80117.3464（506）444.84.3 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email
8、lyg1234 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 模 型 车速 (英里/小时) 刹车时间 （秒） 201.5 301.8 402.1 502.5 603.0 703.6 804.3 车速（英里/小时）010104040606080 t（秒）1234 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 2.5 划艇比赛的成绩 赛艇 2000米成绩 t (分) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5
9、.92 5.82 5.73 5.84 艇长l 艇宽b (米) (米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重 w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。 问 题 准 备 调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力
10、 浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 划浆 功率 赛艇 速度 赛艇 速度 前进 动力 前进 阻力 浆手 数量 艇 重 浸没 面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 模型假设 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 艇的静态特性 艇的动态特性 3）w相同，
11、p不变，p与w成正比浆手的特征 模型 建立 f sv2 p wv (n/s)1/3 s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3 v n1/9 比赛成绩 t n 1/9 np fv 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 最小二乘法 利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验 t n 1248 7.21 6.88 6.32 5.84 与模型巧合！ 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 问 题 甲有物品X, 乙有物品
12、Y, 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 y x p . 用x,y分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo 2.6 实物交换 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 x y yo y1 y2 0 x1x2xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线分析与建模 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2) 具有同样的满意程度
13、，即p1, p2 对甲是无差别的， M N 将所有与p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3). 比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上 。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 p1. p2 . c1 y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小 ) 下凸(凸向原点) 互不相交 在p1点占有x少、y多， 宁愿以较多的 y换取 较少的 x; 在p2点占有y少、x多，
14、 就要以较多的 x换取 较少的 y。 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1c1满意度 （f 等满意度曲线） 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 x y O g(x,y)=c2 c2 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同 性质（形状可以不同） 双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O x y g=c2 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 系xOy, 且反向） 甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P 双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上 因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p 两族曲线切点连线记作AB 数学建模 武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 Email lyg1234 A B p 交换方案的进一步确定 交换方案 交换后甲的占有量 (x,y) 0xx0, 0yy0矩 形内任一点 交换路 径AB 双方的无差别曲线族 等价
