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1、理数 4.6 三角函数的综合应用 知识数据库 技能数据库 预测数据库 1三角函数是高中数学的基础，是解决高中数学问题的有力工 具，也是高考必考知识点，教学中要注意把握“高考问题导航”中所 涉及的四个高考问题，它们揭示了高考对本节知识的考查重点与方向 ，是本节复习的重点与主要题型 2通过近几年的高考试题可以看出对此节内容高考命题多以三 角函数为背景，并以函数、方程、不等式、平面向量、解三角形等内 容为载体，结合实际应用考查三角函数公式、性质、图象及应用，因 此复习时，应立足基础，加强训练，学会建模，提高应用能力 4.6 三角函数的综合应用 3教学中教师应对本节所列例题有所选择，不一定要全部讲完
2、，对“预测数据库”中所列练习也不一定要全部做完，对综合性较强 的题目，不必要求所有学生完成 高考问题1：考查三角函数求值与化简 综合考查三角函数公式的应用，以化简与求值的形式出现，解 题时注意角的范围以及角之间关系的变化，一般为选择、填空题的中 档题或解答题的容易题 高考问题2：考查三角函数图象与性质 综合考查图象变换与函数性质的应用，以函数yAsin(x )(A0，0，| )为命题对象，以根据图象及性质确定函 数中的系数为主要命题形式，一般为选择、填空题中的中档题 高考问题3：考查求最值问题 以复合函数为命题对象，考查指定区间上的最值问题，解决问 题的关键是转化基本函数，特别注意函数单调性的
3、变化，一般为解答 题中的容易题 高考问题4：考查三角函数与其他知识的综合 将三角函数与解三角形综合在一起，考查三角函数定义、公式 、图象与性质的运用，一般为解答题中的容易题. 1三角函数的求值与化简 (1)常用方法：直接应用公式进行降幂、消项；切割化弦， 异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等 (2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量 少；使项数尽量少；使分母尽量不含三角函数；使被开方数尽 量不含三角函数 2求三角函数的值域或最值 求三角函数最值的常用方法有：(1)配方法；(2)化为一个角的 三角函数形式，如yAsin(x)k等，利用三角函数的有界性 求解；(3)数形结合法；(
4、4)换元法；(5)基本不等式法等 三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题 设中所给出的角的范围，还要注意弦函数的有界性 3三角函数的图象和性质 三角函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性 、最值、对称性等要结合图象记忆性质，反过来要用性质巩固图象 ，三角函数性质的讨论要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性 、单调性、周期性、最值都要先考虑函数的定义域三角函数的图象 和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法 去分析问题，解决问题 解这类题的关键是利用降幂公式，辅助角公式将题中三角式化 为某个角的弦函数，利用弦函数的图象和性质解答问题 4三角函数在
5、代数中的运用，精髓是“代换”，将数学中的问 题的变量用三角函数代替称为三角代换三角代换的原则是角的取值 范围决定三角函数的取值范围，三角函数的取值范围必须确保被代换 的变量的取值范围不发生变化，适合的条件不发生变化 注意导数的几何意义，以及利用导数求三角函数的最值的方法 5解答三角函数应用题的一般步骤： (1)阅读理解材料，三角函数应用题的语言形式多为文字语言， 图形语言，符号语言并用阅读理解中要读懂题目中所反映的实际问 题的背景，领悟其中的数学本质，把题目中出现的边角关系和三角关 系联系起来确立以什么样的三角形为模型 (2)建立变量关系，根据(1)的分析，把实际问题抽象成数学问题 ，建立变量
6、关系其中要充分运用数形结合的思想，图形语言和符号 语言并用的思维模式 (3)讨论变量性质，根据(2)中建立起来的变量关系，结合题目 的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论变量的有关性质，从而得 到所求问题的理论参数值 (4)作出结论，根据(3)中得到的理论参数值按题目要求作出相 应的结论 3(2010年黄冈模拟)已知函数y2sin x的定义域为a，b ，值域为2,1，则ba的值不可能是( ) 【解析】 值值域2,1含最小值值不含最大值值，故定义义域小于一 个周期，故选选C. 【答案】 C 【点评】 1.本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等 变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和
7、运算能力 2将一个形式较复杂的三角函数化为某一个角的正弦函数，利 用正弦函数的图象和性质解答问题是高考中常出现的题型解这类题 的关键是利用降幂公式，辅助角公式将题中三角式化为某个角的正弦 函数 能力训练2 关于x的方程sin x cos xa0在区间 0,2上有且只有两个不同的实根 (1)求实数a的范围； (2)求这两个实根的和 例3 如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空 地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地 方种花若BCa, ABC，设ABC的面积为S1，正方形PQRS的 面积为S2. (1)用a，表示S1和S2； (2)当a固定，变化时，求 取
8、得最小值时的值 【指点迷津】 (1)直接运用直角三角形的知识可求出S1，再通 过解方程求出正方形的边长从而求出面积S2. (2)把 的表达式化为同角同名三角函数，接着用换元法将问 题化为熟悉的形式，再利用导数知识求得最值及结果 【点评】 1.本题是三角函数在实际问题中的运用，是三角函数与 解三角形、导数、方程的综合 2此题是以实际生活为背景的求三角函数最值问题，经过三角变 换将函数式化为同角同名三角函数是解题的必经之路，接着用换元法将 问题化为熟悉的形式，再利用求导探索其单调性，最后由单调性求得最 值及结果，显得整个解题过程流畅，简洁自然，很好地体现了函数这一 主干知识在解决问题中的重要地位
9、3本题容易忽视换元后新变量的取值范围，错误的使用均值不等 式求得最小值使用均值不等式求最值必须要符合条件“一正，二定， 三相等” 能力训练3 如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中 ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地， 现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场的最大值与最小值 【解析】 如图，连结AP， 设PAB(090)， 延长RP交AB于M， 则AM90cos ，MP90sin ， PQMBABAM10090cos ， PRMRMP10090sin ， 1解三角函数的求值化简问题必须明确求值的
10、目标，解题时应 在认准目标的前提下从题目特点去分析，寻找到合理，简洁的方法， 切忌盲目运用公式沟通已知与未知之间的联系，灵活运用公式是关 键 2求三角函数的单调区间，周期，及判断函数的奇偶性，要注 意化归思想的运用主要是通过恒等变换将函数式转化为基本三角函 数类型但要注意变形前后的等价性，要牢记基本三角函数的性质 3三角函数求最值的两个基本类型是： (1) 化成一个角的一个三角函数如asin bcos sin( )，再利用单调性，有界性求最值； (2) 化成关于某三角函数的二次型，利用配方法转化为二次函 数在闭区间上求最值的问题，要注意三角函数的有界性 4. 三角函数应用题中，建立目标函数是关
11、键，适当设角，可得 到三角函数关系式，特别要注意定义域的限制 例2 (2010年苏北四市二模)一走廊拐角处的横截面如图所示 ，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB、DC分别 与圆弧BC相切于B、C两点，EFAB，GHCD，且两组平行墙壁的走廊 宽度都是1 m. (1)若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上， 且木棒与内壁圆弧相切于点P，设CMN(rad)，试用表示木棒 MN的长度f()； (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，则求木棒长度 的最大值 【解析】 如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的 垂线，垂足为点T，且交MN或其延长
12、线于S，并连结PQ，再过N点作TQ 的垂线，垂足为W. 在RtNWS中，因为NW2，SNW，所以NS . 因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQMN， 基础过关 【解析】 由f(x)cos x，g(x)sin x，知D正确 【答案】 D 4(2010年江西重点中学二模)给出下列命题： 在ABC中，若AB，则sin Asin B； 能力提升 9(2010年苏南六校模拟)某学生对函数f(x)2xcos x的性 质进行研究，得出如下的结论： 函数f(x)在，0上单调递增，在0，上单调递减； 点( ，0)是函数yf(x)图象的一个对称中心； 函数yf(x)的图象关于直线x对称； 存在常数M0，使|f(x)|M|x|对一切实数x均成立 其中正确的结论是_(填写所有你认为正确结论的序号) 11(2010年苏北四市三模)已知扇形的圆心角为2(定值)， 半径为R(定值)，分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出 的矩形面积的最大值为 R2tan ，则按图二作出的矩形面积的最大 值为_ 拓展探究 12. (2010年南昌市高三第一轮复习测试)水渠横断面为等腰 梯形，渠深为h，梯形面积为S. 为了使渠道的渗水量达到最小，并降 低成本，应尽量减少水与水渠壁的接触面. 问此时水渠壁的倾斜角 应是多少？
