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1、1 第二章 自适应阵的反馈概念 2.1 LMS自适应阵 2.3 肖(Shor)阵 2.2 阿普尔鲍姆阵 2.4 离散的LMS阵 2.5 离散的阿普尔鲍姆阵 2 2.1 LMS自适应阵 图2.1 LMS自适应阵 3 其中:误差信号为 反馈系统调节(WI1,WQ1,WIN,WQN)使得最小. 表示期望值(均值) LMS准则 注 : 2.1.1 选定LMS准则的依据 设天线阵用于通信系统,且阵的输出包括需要信号、干扰和 热噪音,即: (2.1) 式中 分别为需要信号,干扰信号,热噪声。 假设参考信号是需要信号的复制信号 : (2.2) 4 则 : (2.3) 而均方误差为: (2.4) 当时, 最小
2、 ; 反之,若 最小, 则对应于阵列输出端需要信号功率 固定,干扰和热噪声功率最小。 2.1.2 最佳加权 先来确定为了得到最小 应设置的加权. 对于任意一组加权,阵列输出为 : (2.5) 所以,误差信号为: (2.6) 5 均方误差为: (2.7) 写成矩阵形式得到下式: (2.8) 式中和分别为下列矩阵: (2.9) (2.10) 6 的二次函数(呈碗形曲面). 那么 而 为2N2N 矩阵: (2.11 ) 可以看出 : 是关于 该碗形曲面有且只有一个极小值. 得到 极小值的加权矢量用表示, 它可由下式确定: (2.12 ) 7 由于: (2.13) 从而可得: (2.15) 此时可以得
3、到其极小值: (2.16) 代入式(2.15),可以得到: (2.18) 对于任意加权的均方误差可改写成更为有用的形式: (2.19) 因为 对称矩阵,可以由下式代替 (2.20) 8 从上式可看出 的二次型性质. 整理式(2.19)的各项可以得出: (2.21) 当 时: 当时: 因为 的非对角线一般不为零,碗形的主轴不与加权平行. 利用以下变换可得到轴平行于碗型的主轴的坐标系统: (2.22) 式中 为 的坐标旋转矩阵,为 元列矩阵. (2.23) 将式(2.22)代入式(2.21)之中得到: (2.24) 9 因 的极值为极小值，所以特征值 非负，而 且 为非负正定的(半正定). 则 便
4、是碗形的正规坐标。 若选择 使 为对角阵, 亦即： 式中为的特征值， (2.25) 10 因为 曲面上的梯度是指向最陡上坡方向,且 k 0, 这个方程便迫使加权最陡下坡,或最陡下降方向移动.并且,这个 方程使 的时间变化率正比于 曲面的斜率.因为二次 型曲面的斜率随离开其极小点的距离而线性增加,所以当加权 远离碗底时,式(2.26)使加权迅速变化,仅当加权接近碗底时变化 才缓慢. 2.1.3 LMS算法 对于任何给定的阵元排列, 曲面的形状,位置和取向 与入射到阵列的信号有关.若这些信号的个数,到达角或功率电平 随时间变化,则碗形曲面及相应的 将在加权平面上移动.自 适应阵的任务就是在于控制加
5、权矢量 使之对碗形底进行跟踪. 在LMS阵中,加权是根据梯度算法进行调整的, 控制方程为: (2.26) 11 利用求导公式可得: (2.27) 可选: (2.28 ) 这样, 就有: (2.29 ) 因为 : (2.31) 所以,对于给定的 , 若 , 很明显: 将取得最小的负值. 12 利用 的表达式,即式(2.7), 可以得到: (2.33 ) 所以式(2.26)式可以写为: (2.34 ) 但是上式实现困难,因为其右边有期望运算.在实时处理器 中无法得到求解。因此有必要用某种估计来代替它。最简 单形式如下: (2.35) 这个方程被称为威德罗等人的LMS算法. 13 上式等效于图2.3
6、所示的反馈环.因为 仅是自适应阵 的正交双道加权中的一个,所以每个天线单元阵元后面需 要两个这样的环路,一个是同相通道,一个是正交通道,如图 2.4所示.该反馈环常称为相关环,采用这个术语是由于该环 内形成了 和 的乘积,并将乘积积分, 即 : 图2.3 LMS反馈环图2.4 一个阵元的LMS反馈 (2.36) 14 2.1.4 省略E的影响 采用近似 的影响.此时 曲面为瞬 时随机变化的曲面.若 为平稳随机过程,则 曲面不 随时间变化,相应地, 将在其平均值 周围 变化,因此阵的每个加权也变成随机过程. 对于用瞬时 曲面的梯度代替 曲面的梯度的算法, 加权绕其平均值起伏,故仅能通过选择足够小
7、的增益k来尽可 能平均掉随机变化,从而使加权的方差尽可能小.反之,若采用 E,则可以采用任意大的k值. 例:假设环路输入信号为连续信号x(t), 参考信号为r(t): 分析:(1)若包含E, 则图2.5的加权满足方程: (2.37) (2.40) 15 图2.5 单LMS环路 输出信号为 : (2.41) 所以误差信号为 : (2.42) 因此 :(2.43) 所以,w满足右式 : (2.45) 16 这个微分方程的解为: (2.46) ( 注: 式中w(0)为w(t)在t =0时的初值. ) (2)若省略E, 此时,w 满足下式: (2.49) 采用数值求解法, 对于k = A = R =
8、1,w(0)=0和= 0, 可得到 如图2.6的解的形式. 17 采用E.形式时, 加权随时间呈简单指数形式变化; 省略E.形式时, 加权围绕着指数形式振荡, 且增加时, 加权逼近指数形式. 18 其中 就称作解析信号. 2.1.5 复数表示法 研究一种简化自适应阵分析的方法, 即复数加权的解析 信号表示法.首先回顾一下希尔伯特变换的定义: 而 图2.7 处理一个阵元的正交混合器 19 图2.7表示正交混合器和一对加权,这是自适应阵的一 个阵元后所接的电路. 采用解析信号表示法, P.273图 B.5说明了如何利用解析信号表示法表示正交混合器. 图B.5 简化的正交混合器模型 假设正交混合器是
9、宽带的,所以: (2.51) 我们可以定义复信号 为: (2.52) 20 再定义复加权 : (2.53) 定义相应的解析信号为 : (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) 现在讨论图2.7所示的第 j 阵元的输出和其希尔伯特变换: (2.58) 式中: 因此有 : (2.60), (2.61) 所以,解析信号 为: (2.59) (2.62) 21 定义复加权矢量 和复信号矢量 分别为: (2.63) 但是,根据 和 的定义可见,这恰恰就是: (2.64) 对于整个阵,其解析的输出信号为: (2.65) (2.66) (2.67) 所以可以得到: (2.68) 22 2.1.
10、6 复数LMS算法 所以可得: (2.69) (2.71) 实数形式的LMS算法为: (2.70) 利用希尔伯特变换关系: (2.72) (2.73) 23 可以得到 : (2.74) (2.75) 因此式(2.71)可以写为: (2.76) 现在研究反馈方程: (2.78) 经过演算和推导可以得到复数的LMS算法: (2.79) 上式可用图2.8的方块图来表示: 24 图2.8 复数的LMS环路 式(2.79)可以写为下面的矢量形式: (2.80) 然而, 可以写为 : (2.81) 因此式(2.80)为: (2.82) 25 或:(2.83) 定义协方差矩阵 和参考相关矢量 分别为: (2
11、. 84) (2.85) 则 的微分方程变为: (2.86) -Hermite 矩阵 26 只要 是非奇异的,稳态的加权矢量便为: (2.87) 为了得到瞬态解,将标准型式的加权坐标旋转,令: (2.88) 式中R为 NN 的酉矩阵: (2.89) 为列矢量,其元素为新加权值 , 即: (2.90) 27 将式(2.88)代入式(2.86),并左乘 (+表示转置共 轭) 得到: (2.91) 若选择R使 为对角线阵: (2.92) 式中 为 的特征值,则 的微分方程相互无关.对 的解为: (2.93) 因此 将有下列形式: 28 考虑如图2.8所示的由两个各向同 性阵元组成的LMS阵.一个频率
12、为 的连续波信号以相对于侧射方向为 的角度传到阵上.设阵元间距为在频 率 时的半波长. 经过矩阵运算,可以得到关于 的较为简练的表达式: (2.94) 式中 由 t=0 时 的初值决定. 2.1.7 例子 图2.9 二元LMS 阵 . 假设信号 包含需要信号和热 噪声: (2.95) (2.96) 例 1. 29 上式中 和 分别为需要信号和热噪音分量. . 对于连续波的需要信号, 和 为: (2.97) (2.98) 上式中 为需要信号的幅度, 为阵元1处的载波相位角, 而 为阵元之间的相位移.假设 为均匀分布的随机变量, 其概率密度为: (2.99) 因为阵元间距是半波长,则有:(2.10
13、0) . 假设热噪音功率密度为 , 且为零均值的随机过程,并且 彼此以及和需要信号统计无关.则有: (2.101) (2.103) 30 . 每一个阵元混合为两路信号,即同相和正交信号分 别为: (2.104) . 假设参考信号为与需要信号相关的连续波信号: (2.105) (2.106) 于是,平均的输入功率为: 因此,正交混合器的输入信号为: (2.107) (2.108) 而输入噪声功率为: (2.109) 所以每个阵元上的输入信噪比(SNR)为: (2.110) 31 . 现在计算阵列的稳态加权,并研究阵的性能. 将信号 矢量写为: 式中: (2.111) (2.112) (2.114
14、) 先考虑协方差矩阵, 可写为: (2.115 ) 而由(2.112)有: (2.116 ) 32 而且: (2.117 ) 式中I为单位矩阵,所以 为: (2.118 ) 因为 是统计无关的,所以: (2.119 ) 加权矢量 满足: (2.120 ) 其稳态部分为: (2.121 ) 根据式(2.118), 为: (2.122 ) 33 (2.123 ) 的表达式为: (2.125 ) 式中变量 是阵中每个阵元的输入信噪比. 我们注意到,两个复加权 和 的幅度相同: (2.126 ) 但相位相差 .正是这个适当数量的相位差使得加 权信号 和 能够实现同相相加. 的逆为: 34 . 计算方向图: 为了计算方向图,假设单位幅度的信号以 角传到 阵, 因此, 该信号在阵上产生一个信号矢量: (2.127 ) 阵的输出信号为: (2.129 ) 该信号的幅度为: (2.130 ) 该阵的电压方向图为: (2.131 ) 35 值得注意的是 的最大值总是在 方向(即 时).因此,LMS加权矢量自动地操纵方向图的最大 值到需要信号的方向上. 下图给出了两种情况的方 向图： 图2.10 二元自适应 阵的电压方向图 36 . 下面研究输出端的信号和噪音功率. 首先,实信号s(t)的平均功率为: (2.132 ) 利用相应的解析信号 , P 可表示为: (2.133 )
