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1、主讲教师：何松华 教授 联系电话：(0731）82687718 13973132618 电子信箱：13973132618 应用统计学与随机过程(通信专业) Applied Statistics and Random Process 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 4. 白噪声与正态随机过程(7学时) 4.1 白噪声及其特性 4.2 离散白噪声及其特性 4.3 常用离散线性系统模型 4.4 正态随机过程 4.5 正态随机过程的线性变换 引 言 白噪声与正态随机过程的工程背景 (1)白噪声过程与正态随机过程分别从相关函数或概率密 度函数这两种不同角度体现了随机过程的典
2、型； (2)从功率谱或相关函数的角度来看,任何具有有理功率 谱密度函数的随机过程都可以认为是白色噪声通过线性系 统所产生；白色噪声是研究随机过程产生机制及预测方法 的基础; (3)从概率密度函数的角度来看,根据中心极限定理,正态 分布以及由此衍生的其他分布是最常见的概率密度分布； 正态随机过程分析是研究随机过程的重要基础。 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 白噪声及其特性 4.1 1.连续时间白噪声的定义 如果随机过程X(t)的均值函数为常数0，相关函数为如 下的冲激函数，则称该随机过程为白色噪声。 通常意义上的白噪声为平稳白噪声，即V(t1)为常数(相 关函数值与
3、时间起点t1无关)N0/2，则相关函数定义为 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 思考：为什 么除以2 从频域的角度看，平稳白噪声的双边功率谱密度函数为 常数N0/2，物理功率谱密度函数(单边)为常数N0 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 0 GN() N0 /2 FN() N0 RN() N0()/2 0 白噪声中的“白”的含义：借用了光谱中的“白色光的光谱包含 所有颜色可见光的频率，且具有均匀光谱”，意指频率分布广且 均匀。 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 2. 白噪声的特性 (1)白噪声过程在任意两个不同
4、时刻是互不相关的 EX(t1)X(t2) =RN(t1-t2)=0 (t1t2) (2)白噪声任意时刻的功率为无穷大 EX2(t) =RN(0) = (3)白噪声在实际中是不存在的，但在数学处理上给信 号与系统分析带来方便，正如冲激函数在物理上不存在 ，但冲激响应给信号与系统分析带来方便一样。 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 3. 白噪声通过线性系统 实际的噪声过程可以认为是白噪声通过线性系统所产 生，称为有色噪声，在不同时刻可能是相关的，且任意 时刻的功率小于无穷大。 (1) 设输入从t=-开始，生成系统(线性时不变系统)的 冲激响应为h(t),传递函数为H(j
5、) 根据随机过程的线性变换特性，得到 或 因果系统 功率密度分 布不再均匀 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 频域方法 时域方法( 参见第3章) (2) 对于因果系统 根据定义、相关函数的偶 函数特性(附录) 线性系统一般是稳定的，即 功率为无穷大的白噪声通过线 性系统后任意时刻的能量有限 ，功率(平均能量)有限 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 附录(自学）: (1) 0. u0、u-0时，h(u)=0、h(u-)=0；u的取值范 围只能为u (2) 0. u的取值范围为0ut1、 t2M时,ry(n)=0,则 n,j=0 (njq+1
6、) 2.ARMA模型(自回归滑动平均模型) 设W(n)为离散白噪声，X(n)通过如下的(N,M)阶自回归 滑动平均线性模型生成(假设输入从n=-开始) 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 根据信号与系统理论，该生成系统的传递函数为 该系统稳定的条件是：方程zN+a1zN-1+aN-1z+aN的根即 所有极点pi都在复平面单位圆内 零极点模型 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 下面求X(n)的相关函数的通解。设m M，差分方程两边 同乘X(n-m)，再取数学期望，得到 考虑到mM 时，X(n-m)与W(n),W(n-1), ,W(n-M)不相
7、关 W的白色性、系统的因果性；得到 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 根据高等数学理论，上述差分方程的通解为 剩下的问题：(1)如何求得边界条件RX(L+1), RX(L+2), RX(L+N)?通过RX(0), RX(1), RX(L)利用差分方程递推 如 果已求得，则代入通解表达式，通过解线性方程组可以求 出B1,B2,BN；(2)如何求得RX(0), RX(1), RX(L)? 方法1(其他方法略)：留数定理 在单位圆内所有极点的留数之和 考虑到差分 方程不满足 偶函数特性 ARMA模型举例：求X(n)的相关函数 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声
8、与正态随机过程 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 代入 RX(3), RX(4)求得： m2时 ，满足 得： 方程两边同乘X(n-m)取期望 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 附录(自学)：基于ARMA模型的单步预测，假设模型参数 已知(相关函数可以根据模型参数计算) ；初始条件 x(0)=x(-1)=x(-2)=0;按顺序进行单步预测的过程为 第1步：由x(1) 预测 x(2) 在已获x(1)未获得x(2)时 第2步：由x(1) ,x(2)预测 x(3) 在已获x(2)未获得
9、x(3)时 获得上一步的预测误差 为下次预测做准备 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 以此类推 第n步：由x(1) ,x(2),x(n)预测 x(n+1) 在已获x(n)未获 得x(n+1)时 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 3.AR模型(自回归模型) 设W(n)为离散白噪声，X(n)通过如下的N阶自回归线性 模型生成(假设输入从n=-开始) 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 根据信号与系统理论，该生成系统的传递函数为 该系统稳定的条件是：方程zN+a1zN-1+aN-1z+aN的根即 所有极点pi都在复平面
10、单位圆内 全极点模型 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 下面考虑如何求X(n)的相关函数的通解。设m0，差分方 程两边同乘X(n-m)，再取数学期望，得到 考虑到m0 时，X(n-m)与W(n)不相关W的白色性、系统的 因果性；只与W(n-m)以及n-m时刻以前的W相关；得到 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 根据高等数学理论，上述差分方程的通解为 剩下的问题：(1)如何求得边界条件RX(N), RX(N+1), RX(2N-1)? 如果已求得，则代入通解表达式，通过解线性 方程组可以求出B1,B2,BN ；(2)如何求得RX(0) RX
11、(N-1)? 方法：Yule-Walker方程 性质 根据因果性，X(n-i)为W(n-i), W(n-i-1),的线性组合，每项 都与W(n)无关 考虑到差分 方程不满足 偶函数特性 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 差分方程两边同乘X(n)，再取数学期望，并利用相关函 数的偶函数特性，得到 上述方程与前面得到的方程 联立，得到如下的N+1个线性方程 根据RX()的偶函数特性，上述N+1个方程只包含RX(0), RX(1), , RX(N)这N+1个未知数，可求得唯一解;然后利 用差分方程递推求得RX(N+1), RX(2N-1)? AR模型举例：求X(n)的相关
12、函数 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 N=2 方程两边同乘 X(n)取期望 方程两边同乘 X(n-1)取期望 方程两边同乘 X(n-2)取期望 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 代入RX(2)，RX(3)= -1.4RX(2)-0.48 RX(1)；得到 练习：采用频 域法及留数定 理进行验证 附录(自学)：基于AR模型的单步预测，假设模型参数已 知(相关函数可以根据模型参数计算) ；初始条件 x(0)=x(-1)=x(-2)=0;按顺序进行单步预测的过程为 基于AR模型的预测方法简单，由于没有利用历史预测误 差修正目前的预测值，需要的阶数一般较高。 正态随机过程 4.4 1.正态随机过程的普遍性(自学为主) (1)李雅普诺夫定理：设X1,X2,Xn为相互独立、均值 与方差为有限值的随机变量，则不管其服从什么分布 ，当n足够大时，这些随机变量的和服从高斯分布。 (2) 白色噪声X(t)通过有限带宽的线性系统后其概率密 度分布为高斯分布(假设信号从任意t0开始输入) 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 白噪声与正态随机过程 即使0，对不同的i，随机变量 相互独立，只要tt0，则n=(t-t0)/t；满足定理条件 (3)宽带随机过程通过窄带系统
