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1、山东大学数学学院（第二版） 复变函数与积分变换 秦健秋 制 1.1 复数及其运算 1.2 复平面上的曲线线和区域 1.3 复变变函数 1 1.4 复变变函数的极限和连续连续 1.5 MATLAB运算 第一章 复数与复变变函数 早在16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时， 首先产生复数开平方的思想: 17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向 量对应起来解决实际问题. 复变函数论产生于18世纪，由瑞士数学家欧拉作出.他在 1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函 数的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并用“ ”作 为虚数的单位. 复变函数论的全面发展在
2、19世纪.到了20世纪，复变函数 被广泛应用于理论物理，弹性物理，天体力学等方面，并且 有很多复杂的计算都是用它来解决的. 比如 元代数方程 在复数域中恒有解， 这是著名的代数学基本问题，它用复变函数理论来证明非常 简洁. 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数 论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流 体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献. 一、复数的概念 二、复数的表示法 三、复数的代数运算 四、复数的乘幂幂与方根 五、复球面* 六、课课后作业业 七、课课外例题题 1.1复数及其运算 一、复数的概念 引入一个新的数 ，称为虚数单位，并规定 ，即 为复数。对任意的
3、两个实数，称 1. 复数的实部：；复数的虚部： 2. 复数的共轭：若；称为其共轭 3. 判断复数相等：设 若 注：两个不全为0的复数不能比较大小 思考：判断 和 的大小？ 解答 提示 1、(复平面上的)点 二、复数的表示法 一对有序实数对 平面直角坐标系中的任意点 直角坐标平面上的点 X轴 实轴，Y轴 虚轴，平面 复平 面/Z平面 2、复数与向量关系 （1）模 的长度 ，记为 ，则 （2）辐角( ) 与 轴正向的夹角 (周期性) 多值 单值 记 的主值: 则有 点Z 向量Z 复数Z ，即 的辐角不能确定。注：任一复数 有无穷多个辐角； 其中 其中 3、复数的三种表示法 （欧拉公式） 代数表示
4、： 三角表示 ： 指数表示 ： 且 例1 求下列复数的三角形式与指数形式。 解 ： 在第二象限内（1） （1）（2）（例1.1.1） 例1 求下列复数的三角形式与指数形式。 解 ： （2）在三象限内 （1）（2）（例1.1.1） 例2 求下列复数的模和主值辐角。 解 ： （1） （1）（2）（3） （2） （3） 三、复数的运算 1、复数的四则运算 若则有 三、复数的运算 1、复数的四则运算 交换律 分配律 结合律 2、复数的共轭运算 3、复数四则运算的相关性质 加法:复数加法与相应的向量的加法（平行四边形法则） 运算一致. 表示与之间的距离，则有： 3、复数四则运算的相关性质 乘法:复数加法
5、与相应的向量的加法（平行四边形法则） 运算一致. 除法:两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 两边是角的集合相等 设则 解 ： 由 所以 三角式为 例3 将复数 化为三角式和指数 式。（例1.1.2） 指数式为 四、复数的乘幂与方根 1、复数的乘幂 棣模佛(De Moivre)公式 定义： 个相同的复数的乘积，称为的次幂，记作 即 由，有 定义，则 四、复数的乘幂与方根 2、复数的方根 接正边形的顶点，当时 ， 称为主值. 记作 问题：给定复数，求所有满足的复数 的n个值恰为以原点为中心，为半径的圆周的内 定义：若，则称为复数的次方根. 注：开方乘
6、方的逆运算. 例4 计算下列各式。 （1）（2） 解 ： （1）原式 （2）原式 例4 计算下列各式。 （3）（4） 解 ： （例1.1.4 ） （3）由 则 （4）参见教材例1.1.4 N S P y z Z x 五*、复球面 复平面上的点（含） 与复球面上的点一一对应。 取一个与复平面切于原点的球面，球面上的一 点与原点重合。通过做垂直于复平面的直线与球面 相交于另一点，称为北极，为南极。 12 （1 ） 3 （2 ） （3 ） 4 （2 ） （5 ） （6 ） （7 ） （8 ） 习题习题 一 课课后作业业一 例1 判断下列命题是否正确？ （1） （2） （3） （ ） （ ） （ ）
7、课课外例题题一 解 ： 例2 设 求 例3 设 解 ： 求 例4 证明 证明：左边 例5 已知已知正方形 的相对定点 求顶点 和 的坐标。 解 ： 例6 计算下列各式。 解（1）原式 （2）因为 所以 （3）原式 例7 求满足下列条件的复数z。 （1） （2） 且 （3） 解：（1）设则 由 得 ，故 例7 求满足下列条件的复数z。 （2） 且 解：（2）因为 ，则 所以 的值为 内任一实数， 故满足条件的 有无穷多个. 例7 求满足下列条件的复数z。 （3） 解：（3）设 则 一、复平面上的曲线线方程 二、简单简单 曲线线与光滑曲线线 三、区域 1.2复平面上的曲线线和区域 一、复平面上的曲
8、线方程 平面曲线的直角坐标方程形式 令代入得 平面曲线在直角坐标下的参数方程形式 令对应复数形式为： 对应复数形式为 ： （例1.2.1）例1 将直线方程化为复数形式。 解：将代入方程，得 例2 指出下列方程表示什么曲线。 解：以为圆心，半径为 4 的圆周 解：点与 -2 的垂直平分线 解：直线 二、简单曲线与光滑曲线 1、简单闭曲线 注：定义或者简单叙述为简单曲线自身不相 交. 若是一段连续曲线.如果对 上任意不同两点，但不同时是的端点，及我们 ，那么上述集合称为一条简单连续曲线 ， 有 或若尔当（Jordan）曲线. ，称简单连续闭曲线（若尔当闭曲线 ）. 若 2、光滑曲线 注：光滑曲线一
9、定可以求 长. 若，且 三、区域 1、相关概念 内点与开集 区域：连通的开集 边界点与边界 邻域与去心领域 闭区域与开区域 有界域与无界域 注：闭区域不是区域. 三、区域 2、单连通区域与多连通区域 单连通区域与多连通区域 若尔当定理 任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共 点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区 域. 曲线的内部总是完属于 ，则称是单连通区域，否则称 是多连通区域. 设是一个区域，在复平面上，如果内任何简单闭 注：单连通区域内的任一条简单闭曲线，在其内可以经过 连续的变形而收缩成一点。 例3 判断下列区域是无界域（有界域），单连通区域（多 连通区域）。
10、该区域是无界单连通区域. 角形域，无界的单连通区域. 解： (1)当 是椭圆，该区域是此椭圆内部. 有界的单连通区域. 一、复变变函数概念 二、映射 1.3复变变函数 一、复变函数的概念 设是一个复数的非空集合. 如果有一个法则 使得，就有一个或几个与之对应，则称复变 是复变数数的函数，简称复变函数.记作 若一个值，称单值函数 若多个值，称多值函数 注2：今后无特别声明所指的函数均为单值函数. 注1：此定义没有明确指出是否只有一个 和 对应 注3：一个复变函数等价于两个自变量为实数的实值函数 例1 考虑映射 与实变函数的关系。 解： 由 ，可知函数等价于 例2 考虑下列函数是否为单值函数。 （
11、例1.3.1 ） （例1.3.3 ） 单值函数 多值函数 例3 将函数 改写成关于的解析式。 将代入原式, 整理得： 将表达式凑成的因式: 解法一（共轭法） 解法二（拼凑法） 例3 将函数 改写成关于的解析式。 解法三（设零法） 在中，令，得，代入原式： 二、映射 复变函数反映的是两对变量之间的对应关系，要借助于 四维空间才能表示，因此借助于两张复平面来表示. 在几何上可以看做： 平面）平面）的映射（变换 ） （ 平面平面 原象象（映象） 中的点一一对应 与 映射为双射 为单值函数 函数在几何上可以看着是把平面上的一个点集 （定 义域）变到平面上的一个点集（值域）的一个映射. 存在反函数（逆映
12、射），记为 例4 研究所构成的映射。 解：设 所以 旋转变换 例5 求区域在映射下的象。 解： 设 则有 即 由得 解：设 例6 求曲线 在映射下的象。 则由 所以 代入得： 一、复变变函数的极限 二、复变变函数的连续连续 性 1.4复变变函数的极限与连续连续 性 一、复变函数的极限 1、复变函数极限的定义 形式：与一元实函数的极限一致，记为 理解：对任意的路径多样性 掌握：判别不存在的方法 2、极限的运算法则 定理1.4.1 如果 ，则 一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性 3、极限的四则运算 等同于实函数的四则运算，参见教材定理1.4.2。 处的极 限。 例1 求在点 解：原
13、式整理得 当 沿直线趋于零时，有 处的极限不存 在。 即函数在点 处的极限不存在。例2 证明在点 解：原式整理得 当 沿直线趋于零时，有 处的极限不存 在。 即函数在点 二、复变函数的连续性 1、定义 在一点处连续 在区域内连续函数在区域内每一点都连续 2、复变函数连续存在判别法 连续函数的实部、虚部同时连续 定理1.4.4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0)仍为连续函数 ； 连续函数的复合函数仍为连续函数. 由此可推： 在整个复平面内连续 在复平面内除分母为零点外处处连续 二、复变函数的连续性 例3 试证在原点和负实轴上不连续（习题1：16）。 证明：因为无意义， 对负实轴上任一点 所
14、以在点不连续。 当沿平行于轴正向趋近于时， 当沿平行于轴负向趋近于时， 所以不存在，函数在负实轴上不连续。 综上所述 ： 在原点和负实轴上不连 续。 课课后作业业二 9 （1 ） （3 ） 11 （2 ） （4 ） 12 （2 ） （3 ） 17 习题习题 一 课课外例题题二 例1 用复数方程表示过两点和的直线。 解： 其中 例2 研究映射。 解：设 则有 这是一个平面到平面的双射。 平移 即 ，这是一条直线。 解 ： 例3 求曲线 在映射下的象。 例4 研究映射。 映射 是一个关于实轴的对称映射 ； 解：它可以分解为以下两个映射的复合 ： 映射 把 映射成 ，其辐角与 相同； 而模 ，满足 。 我们称 为关于单位圆的对称映射， 与 称 为关于单位圆的相互对称 点。 例5 求曲线 在映射 下的象。 解 ： 例6 考察函数 的连续性。 解：由于 在复平面内除原点外处 处连续； 且 在复平面内处处连续； 所以 在复平面内除原点外处处连续。 1.5 MATLAB实验实验 z=3+4i 将3+4i赋值于变 量z abs(z)计算z的模 real(z)计算z的实部angle(z) 计算z的复角，返 回值用弧度表示 imag(z)计算z的虚部conj(z) 计算z的共轭复数 一、常用命令 二、实例应用 例1 对复
