建筑力学课件第八章综述

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1、第八章弹性杆件横截面应力分析 第一节 概述 第二节 轴心拉压直杆横截面的应力 第三节 受扭直杆横截面上的应力 第四节 平面弯曲梁横截面的应力 第五节 组合受力构件横截面的应力 第六节 截面图形的几何性质 结论与讨论 习题 8.1 概述 弹性杆件，指在载荷作用下，杆件材料处于弹性状态，不会进入塑性 状态，这样一种受力状态的杆。 第7章介绍过，应用变形固体平衡原理可以确定静定问题中杆件横截 面上的内力分量，内力分量是杆件横截面上连续分布内力的简化结果 。 如图8-1（a）、（b）所示，作用于同一面积的不同的分布力系对同 一点的简化结果相同，只有主矢，没有主矩。 不过一般情况下当已知杆件截面上的应力

2、（分布内力集度）在截面形 心等效简化的结果内力分量，要求应力，是求如图8-1所示的反问题 ，可以看出可能出现无数种情况都满足要求，即不能唯一确定横截面 的应力（分布内力集度）。 如何确定弹性杆件横截面上的应力呢？应力是不可见的，但应变却是 可以通过对杆件变形的观测得出来的，在第7章我们得出过结论，在 弹性范围内，应力与应变之间是服从胡克定律的。 下一页返回 8.1 概述 这样，为了确定杆件横截面的应力，必须分析和研究杆件横截面的变 形及杆件横截面上每点的应变，必须研究杆件材料应力与应变之间的 关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面。此二者与平衡 原理一起组成分析弹性杆件横截面内力分布规

3、律的基本方法。 下文将主要介绍轴心拉压直杆横截面正应力分析，受扭圆直杆横截面 切应力、平面弯曲梁横截面应力分析，以及组合受力杆件横截面应力 分析。 上一页返回 8.2 轴心拉压直杆横截面的应力 8.2.1 轴心拉压直杆横截面正应力 前已述及，轴心拉压直杆横截面上只有一个内力分量轴力。轴力 是横截面连续分布的内力的合力。轴向拉压杆横截面上的分布内力是 均匀分布的，其方向都沿杆轴方向。下面以一个简单演示试验予以说 明。 用一根均质、等截面直杆，并在其表面均匀地画上一些与杆轴线平行 的纵向线和与之垂直的横向线，如图8-2（a）所示。当在杆上施加轴 向拉力后，如图8-2（b）所示，可以看到所有纵向线都

4、伸长了，其伸 长量相等，所有横线仍保持为与杆轴线垂直。 根据上述现象可作如下假设： （1）平面假设。若将各条横线看作一个横截面，则杆的横截面位移 后依然保持平面，且依然垂直于杆的轴线。 （2）设想杆件是由许多等截面的纵向纤维组成，纵向纤维间无挤压 。 下一页返回 8.2 轴心拉压直杆横截面的应力 结合假设（1）可知，两横截面之间所有的纵向纤维都伸长了相同的 长度，由此可得横截面上每点轴向应变相同，进一步可得横截面上每 点轴向只有正应力，且大小相等。这个结论对于压杆也是成立的。 因为拉（压）杆横截面上每点处正应力大小相等，所以轴向拉（压） 杆横截面上轴力为等于正应力与横截面面积的乘积，即 （8-

5、1 ） 改写为 （8-2 ） 式（8-2）即为拉压杆横截面上正应力的计算公式。正应力的符号规 定和轴力的符号规定一致，轴力为拉力时，正应力取正号；为压力时 ，取负号。式（8-2）适应条件是等直杆或截面变化缓慢的直杆受轴 向外力作用。 对弹性轴心受力杆，由胡克定律知其轴向应变满足公式 ，将 8-2代入，可得 （8-3 ） 上一页 下一页返回 8.2 轴心拉压直杆横截面的应力 例8-1 计算图8-3所示轴向受力杆横截面上的应力，已知AD段为圆形 杆，横截面直径d=30 mm，DE段为方形杆，横截面边长a=30 mm。 解：作杆的轴力图如图8-3所示。由图知，AB、BC段均受拉，CE段 受压。需要注

6、意的是，CE段轴力虽是常数，但其中CD段与DE段横截 面形状和面积不同，故应将CE段分成CD与DE分别计算。 AB段：轴力为常数=100 kN，横截面积 由式（8-2）知，各横截面上的正应力相等，都为 （拉） 同理，BC段轴力为，横截面面积A1，故 （拉） CD段 轴力为（压 ） DE段 轴力为，横截面面积，故 图8-4 例8-2图 （压） 上一页 下一页返回 8.2 轴心拉压直杆横截面的应力 例题8-2 一正方形截面的砖柱，如图8-4所示，上段柱边长为240 mm ，下段柱边长为370 mm。荷载F1=50 KN，F2=90 KN，砖柱自重不 计。试求各段柱横截面上的正应力。 解：荷载F1和

7、F2的作用线与柱的轴线重合，故AB和BC两段柱都是轴 向压缩。 1）求轴力。用1-1和2-2截面分别将柱在AB及BC段内截开，取上部分 为研究对象，写出平衡方程并求出轴力： AB段： （压 ） BC段： （压 ） 轴力图如图8-4（b）所示。 2）求正应力 AB段：截面面积A12402405.76104 mm2 BC段：截面面积A23703701.37105 mm2 上一页 下一页返回 8.2 轴心拉压直杆横截面的应力 8.2.2 应力集中的概念 前面所介绍的应力计算公式适用于等截面的直杆，对于横截面平缓变 化的拉压杆按该公式计算应力在工程实际中一般是允许的；然而在实 际工程中某些构件常有切口

8、、圆孔、沟槽等几何形状发生突然改变的 情况。试验和理论分析表明，此时横截面上的应力不再是均匀分布， 而是在局部范围内急剧增大，这种现象称为应力集中。 如图8-5（a）所示的带圆孔的薄板，承受轴向拉力P 的作用，由试验 结果可知：在圆孔附近的局部区域内，应力急剧增大；而在离这一区 域稍远处，应力迅速减小而趋于均匀，如图8-5（b）所示。在1-1截面 上，孔边最大应力与同一截面上的平均应力之比，用K表示 （8-4 ） 上一页 下一页返回 8.2 轴心拉压直杆横截面的应力 K称为理论应力集中系数，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的 系数。试验和理论分析结果表明构件的截面尺寸改变越急剧，构件的 孔

9、越小，缺口的角越尖，应力集中的程度就越严重。因此，构件上应 尽量避免带尖角、小孔或槽，在阶梯形杆的变截面处要用圆弧过渡， 并尽量使圆弧半径大一些。 各种材料对应力集中的反应是不相同的。塑性材料（如低碳钢）具有 屈服阶段，当孔边附近的最大应力到达屈服极限时，该处材料首先屈 服，应力暂时不再增大，若外力继续增大，增大的内力就由截面上尚 未屈服的材料所承担，使截面上其他点的应力相继增大到屈服极限， 该截面上的应力逐渐趋于平均，如图8-5（c）所示。因此，用塑性材 料制作的构件，在静荷载作用下可以不考虑应力集中的影响。而对于 脆性材料制成的构件，情况就不同了。因为材料不存在屈服，当孔边 最大应力的值达

10、到材料的强度极限时，该处首先产生裂纹。所以用脆 性材料制作的构件，应力集中将大大降低构件的承载力。 上一页 下一页返回 8.2 轴心拉压直杆横截面的应力 因此，即使在静载荷作用下也应考虑应力集中对材料承载力的削弱。 不过有些脆性材料内部本来就很不均匀，存在不少孔隙或缺陷，例如 含有大量片状石墨的灰铸铁，其内部的不均匀性已经造成了严重的应 力集中，测定这类材料的强度指标时已经包含了内部应力集中的影响 ，而由构件形状引起的应力集中则处于次要地位，因此对于此类材料 做成的构件，由其形状改变引起的应力集中就可以不再考虑了。 以上是针对静载作用下的情况，当构件受到冲击荷载或者周期性变化 的荷载作用时，不

11、论是塑性材料还是脆性材料，应力集中对构件的强 度都有严重的影响，可能造成极大危害。 上一页 返回 8.3 受扭直杆横截面上的应力 8.3.1 受扭圆轴横截面上的应力 圆轴受扭时，横截面上的内力是扭矩，该扭矩是横截面上分布内力的 合力偶矩。如同受扭薄壁圆筒，横截面只有切应力。如何求出每一点 处切应力，这要从杆件的几何变形、物理关系应力与应变关系、 静力平衡条件三方面进行综合研究，以求建立圆轴扭转时横截面上的 应力计算公式。 1. 几何变形方面 如图8-6（a）所示，等直圆轴受扭前，在圆轴的表面上划上许多等距 离的平行于杆轴线方向的纵向线和垂直于轴线方向的圆周线。施加荷 载使圆轴发生扭转变形后，可

12、以观察到圆轴表面上的圆周线只是绕圆 轴的轴线转动，其大小和形状都不改变，各纵向线均倾斜了同一微小 角度；且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不改变；变形前 表面上的矩形网格，变形后错动成平行四边形。根据这些变形特点， 可以得到以下的假设和推断： （1）由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，假设圆轴的横截 面，在轴扭转变形时，只是像刚性圆盘一样在原来的位置上绕圆轴轴 线转动了一个角度。将此假设称为圆轴扭转时的平截面假设。 下一页返回 8.3 受扭直杆横截面上的应力 （2）由于圆周线间距离不变，且矩形网格发生相对错动，故在横截 面上没有正应力。 （3）由于矩形网格变形后错动成平行四边形，即左

13、右截面发生了相 对错动，故推断横截面上必有切应力，且切应力的方向垂直于横截面 半径。 （4）由于各纵向线均倾斜了同一微小角度 ，故各矩形网格直角 都改变了 ,即切应变。 我们可以用两个截面，从图8-6（a）中取出长为的一段杆来研究，如 图8-6（c）所示。再从此微段杆中取出一半径为的圆柱体，如图8-6（ d）所示。若截面相对于截面转动了一个角度，称为段的扭转角。半 径转到了。于是，表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动 ，错动的距离是 因而引起原为直角的角度发生改变，改变量为 （8-5 ） 这就是圆截面边缘上a点的切应变。显然发生在垂直于半径的平面内 。 根据变形后横截面仍为平面

14、，半径仍为直线的假设，用相同的方法， 并参考图8-6（d）可以求得距圆心为处的切应变为 上一页 下一页返回 8.3 受扭直杆横截面上的应力 （8-6 ） 这个结论符合前面所作的假设-截面刚性转动，它表明受扭圆轴横截 面上任一点处的切应变与该点到圆心的距离成正比。 （2）物理关系。由剪切胡克定律知，在线弹性范围内，某一点处的 切应力与其相应的切应变成正比，即有 （8-7 ） 式中为圆轴截面上距圆心为处的切应力，G为切变模量。由式（8-6） 、式（8-7）可得 （8-8 ） 据式（8-8）可知，横截面上任意点处的切应力与该点到圆心的距离 成正比。由于切应变发生在垂直于半径的平面内，因此 的方向也与

15、 半径垂直，如图8-6（e）所示。 因为公式（8-8）中的 尚未求出，所以仍不能用它计算切应力，这 就要用静力关系来解决。上一页 下一页返回 8.3 受扭直杆横截面上的应力 （3）静力平衡关系 圆杆横截面上各微面积上的内力对圆心的力矩的总和应等于该截面的 扭矩Mx如图8-6（e）所示。即有 结合前面式（8-8），得 取 则有 可得（8-9 ） 将上式代入式（8-8），可以得到圆轴扭转时横截面上任一点的切应 力计算公式为 （8-10 ） 从公式（8-9）知，对于受扭圆轴，其横截面上切应力在圆轴边缘处 达到最大，其值由下式确定： （8-11 ） 式中 上一页 下一页返回 8.3 受扭直杆横截面上的应力 称为圆截面抗扭截面系数。对于直径为d的圆截面杆 对于空心圆截面杆，其内径为d，外径为D，内外径比值 ，有 上一页 下一页返回 8.3 受扭直杆横截面上的应力 8.3.2 切应力互等定理 图8-7 切应力互等定理示意图 我们从受扭的等直圆杆表面处某点用垂直于轴向的两个面及平行于和 该点连接的半径的两个面与平行于表面的一个面截出一个单元体。如 图8-7（a）所示，单元体的左右两个面属于圆杆的横截面，其上作用 着等值反向的切应力。这两个面上的切向内力均为。要 保持单元体的平衡，在上下两个面上必有等值反向的切应力。这两个 面上的切向内力均为，它们组成一个力偶，其矩为 。据单元体的力矩平衡