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1、4. 4. 电容的计算之一电容的计算之一定义法 由电荷分布求出两极板间由电荷分布求出两极板间电场的的场强场强分布分布（求E） 由场强分布求出两极板间的由场强分布求出两极板间的电势差电势差（求U） 由电容的定义求得电容器的由电容的定义求得电容器的电容电容（求C） &一般步骤： 先设q求U求E 有介质存在时电容器电容的求解有介质存在时电容器电容的求解 求D 设极板带有电荷电荷 q q（设q） 最后求C r Sh 解：设电容器的带电量为解：设电容器的带电量为q q ，线电荷，线电荷 密度为密度为 例例1 1 如图所示，同轴圆柱形内外半径分别为如图所示，同轴圆柱形内外半径分别为R R 1 1 、 R
2、R2 2 ， 长度为长度为l l，两柱面间充满相对介电常量为，两柱面间充满相对介电常量为 r r 的介质的介质。求此求此 电容器的电容。电容器的电容。R2 R1 l 取圆柱形高斯面，如图取圆柱形高斯面，如图 r Sh R2 R1 l 例例 如图所示，两块靠近的如图所示，两块靠近的平行金属板间原为真空。使它平行金属板间原为真空。使它 们分别带上等量异号电荷直至两板上面电荷密度分别为们分别带上等量异号电荷直至两板上面电荷密度分别为 + + 0 0 和和- - 0 0 ，而板间电压，而板间电压U U 0 0 = =300300V V。这时保持两板上的电量。这时保持两板上的电量 不变，将板间一半空间充
3、以相对介电常量为不变，将板间一半空间充以相对介电常量为 r r = =4 4的电介质的电介质 ，试求现在板间电压变为多少？，试求现在板间电压变为多少？ + + + 0 -0 + + + 1 -1 2 -2 解法一：设金属板的面积为解法一：设金属板的面积为S S，板间距离为，板间距离为d d 电容器为真空电容器为真空极板带电量极板带电量 + + + 1 -1 2 -2 由高斯定理得由高斯定理得 板间电压为板间电压为 即有即有 由题知，两板电量保持不变，则由题知，两板电量保持不变，则 + + + 1 -1 2 -2 联立式（联立式（1 1）、（）、（2 2），得），得 FF电容两端的电压电容两端的
4、电压 + + + 0 -0 解法二：设金属板的面积为解法二：设金属板的面积为S S， 板间距离为板间距离为d d 电容器为真空电容器为真空 极板带电量极板带电量 + + + 1 -1 2 -2 并联总电容并联总电容 并联电容两端的电压并联电容两端的电压 + + + 1 -1 2 -2 静电场中的导体和电介质总结静电场中的导体和电介质总结 一、两个现象一、两个现象 静电感应静电感应静电平衡静电平衡 静电屏蔽静电屏蔽 1. 1. 导体的静电感应导体的静电感应 2. 2. 电介质的极化电介质的极化 介质的极化介质的极化 导体表面是等势面导体表面是等势面 电荷分布在导体的外表面电荷分布在导体的外表面
5、: : 极化规律极化规律出现束缚电荷出现束缚电荷 E E 内内=0 =0导体是等势体导体是等势体 介质场中的高斯定理介质场中的高斯定理 三、两条基本定理三、两条基本定理 二、三个概念二、三个概念 电位移矢量电位移矢量 电容电容电场的能量电场的能量 介质场中的环路定理介质场中的环路定理 四、三类计算四、三类计算 1.1.场强的计算场强的计算： B.B.先求先求 D D E E，计算方法同上一章，计算方法同上一章 （2 2）有电介质存在时静电场中的场强）有电介质存在时静电场中的场强： （1 1）有导体存在时静电场中的场强）有导体存在时静电场中的场强 A.A.用静电感应和电荷守恒的观点分析电荷的分布
6、用静电感应和电荷守恒的观点分析电荷的分布 B.B.计算方法同上一章计算方法同上一章 A.A.用介质场中的高斯定理用介质场中的高斯定理 2.2.电容器的电容：电容器的电容： （1 1）定义法）定义法 （2 2）电容串并联法）电容串并联法 串联串联 并联并联 混联混联 （3 3）能量法）能量法 能量密度能量密度 电容器储能电容器储能 3.3.静电场能量静电场能量 作功作功能量能量 例例 电容为电容为C C的空气平板电容器，两极板间距离为的空气平板电容器，两极板间距离为d d ，若在此电容器中插入一相对介电系数为，若在此电容器中插入一相对介电系数为 r r 的纸片的纸片 ，这时电容器的电容变为，这时
7、电容器的电容变为CC, ,试证纸片厚度为试证纸片厚度为 证证: :设极板面积为设极板面积为S S 得证得证 l l 另证另证 同样可证同样可证 R q 例例 半径为半径为R R、相对介电常量相对介电常量 r r 的球体放在真空中，电的球体放在真空中，电 荷荷q q均匀分布在此球体内，求该带电球体产生的电场的能均匀分布在此球体内，求该带电球体产生的电场的能 量。量。 解：解：分析电场的分布，求电场强度分析电场的分布，求电场强度E E 球体内球体内 的电场的电场 强度强度 r 取半径为取半径为r r、厚度为、厚度为drdr的球壳体积元的球壳体积元dVdV R R q q 能量密度能量密度w w e
8、 e 球体外的电场强度球体外的电场强度 球体内的电场强度球体内的电场强度 d dr r r r r r d dr r R R q q 整个电场的能量为整个电场的能量为 r r d dr r R R q q FF 电子是一个带电体，可以看成电子是一个带电体，可以看成 电荷均匀分布在其体内电荷均匀分布在其体内 FF 电子电场的静电能量为电子电场的静电能量为 FF 电子半径为电子半径为 例例 空气平板电容器的极板面积为空气平板电容器的极板面积为S S，极板间距为，极板间距为d d，其中，其中 插入一块厚度为插入一块厚度为dd的平行铜板。现在将电容器充电到电势的平行铜板。现在将电容器充电到电势 差为差
9、为U U，切断电源后再将铜板抽出。试求抽出铜板时外力，切断电源后再将铜板抽出。试求抽出铜板时外力 所作的功。所作的功。 解：方解：方法法一：一：电容器储存电容器储存 能量的观点能量的观点 FF外力的功等于抽出铜板前后该电容器电能的增量外力的功等于抽出铜板前后该电容器电能的增量 抽出铜板前电容器的电容为抽出铜板前电容器的电容为 极板上的电荷不变极板上的电荷不变 抽出铜板后电容为抽出铜板后电容为 抽出铜板外力所做的功为抽出铜板外力所做的功为 方法二：方法二：电场是能量携带者的观点电场是能量携带者的观点 FF铜板抽出前后铜板抽出前后, ,空气中场强不变空气中场强不变, ,即电场能量密度不变，即电场能
10、量密度不变， 但电场存在的空间体积增大但电场存在的空间体积增大 例例 如图所示，同心球形电容器的内外半径分别为如图所示，同心球形电容器的内外半径分别为R R 1 1 、R R 2 2 ，极板间充满了相对介电常量为，极板间充满了相对介电常量为 r r 的介质。已知此电容的介质。已知此电容 器的击穿场强为器的击穿场强为E E k k ，求此电容器最多能储存多少电荷？，求此电容器最多能储存多少电荷？ 此时电容器的最大储能是多少？此时电容器的最大储能是多少？ 解：解： FF 由高斯定理得，电由高斯定理得，电 容器极板间的场强容器极板间的场强 FF由由E E分布知，靠近内球面处（即内极板）的场强最大分布知，靠近内球面处（即内极板）的场强最大 R1 R2 o r r Q r FF球形电容器的电容为球形电容器的电容为 FF此时电容器最大储存的能量为此时电容器最大储存的能量为 R1 R2 o r r Q FF 知靠近内极板处的场强为击穿场知靠近内极板处的场强为击穿场 强强E E k k 时，此时的极板带电量将为时，此时的极板带电量将为 最多，即最多，即
