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1、第三章 平稳随机过程的谱分析 主要内容： n 介绍平稳随机过程的功率谱密度的概念、性质， 以及功率谱密度与自相关函数之间的关系。介绍平稳 离散时间随机过程的功率谱密度的定义及其与自相关 函数的关系，并阐述了如何将香农采样定理推广应用 于平稳随机过程，建立起连续时间随机过程与离散时 间随机过程之间的相互变换关系，论及了两个联合平 稳随机过程的互谱密度的定义、性质及其与互相关函 数的关系。最后，扼要介绍白噪声的定义和性质。 第三章 平稳随机过程的谱分析 重点及其要求： n（1）平稳过程的自相关函数与功率谱密度之间、 联合平稳过程的互相关函数与互谱密度之间皆互为 傅立叶变换，知其一可求其二，并能求出
2、平均功率 、互功率。 n（2）对功率谱密度、互谱密度的定义及性质要熟 记，以便灵活运用，解决有关问题。 3.1 随机过程的谱分析 （一）随机过程的功率谱密度 随机过程X(t)的样本函数x(t)不满足傅立叶变换绝 对可积条件。尽管x(t)的总能量是无限的，但其平 均功率却是有限的。 过程的样本函数x(t)的截取函数定义为 3.1 随机过程的谱分析 当T为有限值时，截取函数满足绝对可积条件，其 傅立叶变换存在，则有 显然xT(t)也应满足帕赛瓦定理，即 对上式作集平均、时间平均处理后，可得到随机过 程的平均功率为 3.1 随机过程的谱分析 由此得到两个重要结论： （1） 若过程X(t)是平稳的，则
3、有 （2）设 则有 我们称SX()为随机过程X(t)的功率谱密度函数。对平稳过程 X(t)，则有 3.1 随机过程的谱分析 （二）功率谱密度与复频率面 为了系统分析的方便，有时用复频率 来代替实频率变量，于是，功率谱密度便是复变量S 的函数，记为 。 最简单的情况就是， ，此时记 ； 当用-jS代替时，功率谱密度应记为 或 。 有时也用复频率面上的零、极点图来研究功率谱密度 。 3.1 随机过程的谱分析 例3.1 设复随机过程 其中a和0皆为实常数，是均匀分布在区间（0,/2 ）上的随机变量。试求X(t)的平均功率。 解：因为X(t)的均方值 是时间t的函数，故X(t)不是宽平稳的。可以求得X
4、(t)的 平均功率 3.1 随机过程的谱分析 例3.2 设 解：用=-js代入得 求用复频率s=j表示的SX(s) 习 题 3.1 设平稳随机过程X(t)的功率密度为 求用复频率s=j表示的SX(s)，并在复频率面上画出SX(s) 的零、极点图。 3.2平稳随机过程的功率谱密度性质 （一）平稳过程X(t)的功率谱密度的性质 (1). (2). 功率谱密度SX()是的实函数。 (3). (4). SX()可积 (5). (6). 在平稳过程中，有一大类过程，其功率谱密度是 的有理函数，即 式中S00,MN,此外，分母应该无实数根。 3.2平稳随机过程的功率谱密度性质 例3.3 考虑一个广义平稳随
5、机过程X(t)，具有功率谱密度为 解：现在我们用复频率的方法来求 。首先令s=j,得 求过程的均方值 利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分 3.2平稳随机过程的功率谱密度性质 左半平面有两个极点，在1和3处，于是，可以 分别计算两个极点的留数为 故 习 题 3.2 已知平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为 求过程的均方值 3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系 （一）关系式 经分析，随机过程自相关函数的时间均值与过程功率 谱密度之间构成了傅立叶变换对，即 若平稳过程满足 3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系 利用 的偶函数特性，维纳辛
6、钦定理还 可以表示为： 则有 3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系 （二）例解 例3.4 设平稳过程X(t)的自相关函数为 其中a,0均为常数。求该过程的功率谱密度。 解： 3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系 例3.4 设平稳过程X(t)的功率谱密度为 求该过程的自相关函数和平均功率Q. 解： 利用留数定理，可求得 习 题 3.3 设随机过程Y(t)=aX(t)sin0t,其中a, 0皆为常 数，X(t)为具有功率谱密度SX()的平稳过程。求过程 Y(t)的功率谱密度。 3.4 已知平稳随机过程X(t),具有功率谱密度为 求过程的自相关函数和均方值。 3.
7、4 离散时间随机过程的功率谱密度 （一）离散时间随机过程的功率谱密度 设X(n)为宽平稳离散时间随机过程，其自相关函数 RX(m)满足 定义1 X(n)的功率谱密度SX()为RX(m)的离散傅立叶变 换，即 它是周期连续函数，其周期为2q(即Nyquist频率)，即 3.4 离散时间随机过程的功率谱密度 且有 在离散时间系统分析中，有时用Z变换更为方便， 所以也用广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定 义为RX(m)的Z变换。 3.4 离散时间随机过程的功率谱密度 定义2 X(n)的功率谱密度 为 的Z变换 显然有 RX(m)则为 的逆Z变换，即 式中D为收敛区中的简单闭合围线。 3.4 离散
8、时间随机过程的功率谱密度 （二）平稳过程的采样定理 若零均值的限带平稳过程X(t)的功率谱密度为 在采样周期 时，可将X(t)按其振幅采样展开为 此式就是平稳过程的采样定理。 3.4 离散时间随机过程的功率谱密度 （三）功率谱密度的采样定理 若平稳连续时间实随机过程X(t)，其自相关函数和功 率谱密度分别以 记；对X(t)采样后，所 得离散时间随机过程X(n)=X(nT)，X(n)的自相关函数 和功率谱密度分别用 表示，则有 上式就是功率谱密度的采样定理。 3.4 离散时间随机过程的功率谱密度 （四）例解 例3.5 设平稳离散时间随机过程X(n)的自相关函数为 求X(m)的功率谱密度 解： 上
9、式等号右边第一个和式在 处收敛为 第二个和式在 处收敛为 故我们得到 3.4 离散时间随机过程的功率谱密度 故我们得到 则 若T=1时，上式变为 3.5 互谱密度 （一）互谱密度 设X(t),Y(t)为联合平稳随机过程，若 分别为 的傅立叶变换，则可定义这两个过 程的互谱密度为 于是两个随机过程X(t)和Y(t)的互功率为 3.5 互谱密度 （二）互谱密度与互相关函数的关系 对于两个实随机过程X(t),Y(t)有 若实过程X(t)、Y(t)联合平稳，则有 3.5 互谱密度 （三）互谱密度的性质 互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率的正 的、实的和偶函数。下面我们不加证明地列出互谱密 度的
10、若干性质。 （1） （2） 互谱密度的实部ReSXY()、 ReSYX()为的 偶函数，其虚部ImSXY()、 ImSYX()为的奇函 数。 3.5 互谱密度 （3）若随机过程X(t)与Y(t)正交，则有 （4）若随机过程X(t)与Y(t)是两个不相关的，均值 分别为mX和mY平稳随机过程，则 （5） 3.5 互谱密度 （四）例解 例3.6 已知随机过程Z(t)为。 其中a和b皆为实数，X(t)和Y(t)是各自平稳且联合平稳 的随机过程。试求： （1）过程Z(t)的功率谱SZ(); （2）过程X(t) 和Y(t)不相关时的SZ(); （3）互谱密度SXZ()和SYZ(). 3.5 互谱密度 解： （1）过程Z(t)的均值、互相关函数分别为 所以Z(t)也是宽平稳过程，它的功率谱密度为 3.5 互谱密度 （2）平稳过程X(t)与Y(t)不相关时的互谱密度为 （3） 因此Z(t)的功率谱密度为 同样 所以对 进行傅立叶变换，变可得到互谱密度为 3.6 白噪声 若零均值的平稳随机过程N(t)，其功率谱密度SN()在 整个频率轴上为非零常数，即 则称N(t)为白噪声过程。 白噪声N(t)的自相关函数、相关系数分别为
