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1、河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设命题：，则命题的否定为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.2. 已知抛物线的方程为，则的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题抛物线的标准方程为 ，则焦点坐标为 .故选C.3. 用反证法证明命题“三角形内角中至多有一个钝角”，假设正确的是（ ）A. 假设三个内角都是锐角 B. 假设三个内角都是钝角C.
2、 假设三个内角中至少有两个钝角 D. 假设三个内角中至少有两个锐角【答案】C【解析】“至多有一个”的否定是“至少有两个”. 故选C.4. 下列命题为假命题的是（ ）A. 函数无零点 B. 抛物线的准线方程为C. 椭圆的离心率越大，椭圆越圆 D. 双曲线的实轴长为【答案】C【解析】A,B,D显然成立，椭圆的离心率 ,所以离心率越大，椭圆越扁，故C不正确. 故选C.5. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 ，解得 ，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.6. 以为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）
3、A. B. C. D. 【答案】B【解析】点到直线的距离 ，所以以为圆心，且与直线相切的圆的方程为 故选B.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三分之一个圆锥，其体积为 . 故选D.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐
4、项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图8. 设是椭圆：的两个焦点，点是椭圆与圆：的一个交点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知，解得，故选C.9. 小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我的第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（ ）A. 小明 B. 小马 C. 小红 D. 小方
5、【答案】A【解析】如果小方得第一名，那么小明说的也是真话，不符合要求；如果小红得第一名，那么小马说的也是真话，不符合要求；如果小明得第一名，那么小明说的也是真话，小马、小方、小红说的是假话，符合要求；所以得第一名的人是小明.故选A.10. 抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为（参考数据：）（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意,A(1,0),F(1,0)，点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上.设点P的横坐标为m,联立圆与抛物线的方程得x2+4x1=0，m0,点P的横坐标为，|PF|=m+1=，故所求弦长为 .故选D.
6、11. 在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对棱长相等的三棱锥可以补形为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别为 则有 则外接球的半径 ，所以表面积为.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，或者对棱长相等的三棱锥一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解12. 设双曲线：的左、右焦点分别为，过作轴的垂线与双曲线在第一象限
7、的交点为，已知，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】易知，由得则由于恒成立，所以，又又本题选择A选项.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_.【答案】【解析】由题知双曲线的焦点在y轴上，且 解得 ，所以双曲线的方程是.14. 若圆与圆的公共弦的弦长为，则_.【答案】【解析】公共弦所在的直线方程为 ,圆心（0，0）到该直线的距离，解得 .15. 设函数，观察：，根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，_.【答案】16. 已知为曲线：上任意一点，
8、则的最大值是_.【答案】8可得|MA|+|MB|的最大值为8.三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题：若，则，：.（1）写出的逆否命题；（2）判断的真假，并说明理由.【答案】(1)见解析(2) 为真，为真，为假.【解析】试题分析：（1）若则的逆否命题是若则.（2）先判断命题p,q的真假，再利用真值表可判断的真假.试题解析：（1）的逆否命题：若，则.（2）若，则，为真，方程的判别式，方程无解，为假.故为真，为真，为假.18. 已知圆：，直线：.（1）若直线与圆交于两点，求；（2）是否存在常数，使得直线：被圆所截得的弦的中点在直线上？若存在，
9、求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 不存在这样的【解析】试题分析：（1）先求圆心到直线：的距离，再利用勾股定理求.（2）联立直线与圆 得，可得中点坐标为，将其代入直线方程，得，结合判断不存在这样的.试题解析：（1）因为圆心到直线：的距离，所以.（2）记直线与圆两交点的坐标分别为，由得，所以，所以中点坐标为，将其代入直线方程，得所以又由得所以不存在这样的.19. 如图，在直三棱柱中，已知，.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）先证明平面，可证得.（2）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.试题解析：
10、（1）因为四边形是矩形，所以又因为，所以平面因为，所以平面，又，所以平面，从而.（2）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为，所以，又，故，设为平面的法向量，则即，取，解得，为平面的一个法向量显然，为平面的一个法向量则.据图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20. 已知抛物线：的焦点为，原点为，过
11、作倾斜角为的直线交抛物线于两点.（1）过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，且，求抛物线的方程；（2）当直线的倾斜角为多大时，的长度最小.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用几何性质可得为等边三角形，得，所以抛物线方程为.（2）联立得，可得，所以焦点弦，当且仅当等号成立，.试题解析：（1）准线与轴的交点为，则由几何性质得，且，为等边三角形，得，抛物线方程为.（2），直线的方程可设为，由得，设，则，得，所以，当且仅当等号成立，.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的
12、焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，是棱上的一个点，为的中点.（1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）连接，取的中点，所以，所以平面，平面，所以平面平面，所以平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求得线面夹角的正弦值。试题解析：（1）证明：连接，设，取的中点，连接，在中，因为分别为的中点，所以，又平面，所以平面，同理，在中，平面，因为
13、平面，所以平面.（2）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等边三角形中，因为，所以，因此，且，设平面的一个法向量为，则，取，得，直线与平面所成的角为，则.22. 已知椭圆：的焦距为4，且点在椭圆上，直线经过椭圆的左焦点，与椭圆交于两点，且其斜率为，为坐标原点，为椭圆的右焦点.（1）求椭圆的方程； （2）设，延长分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】(1) (2)见解析 【解析】试题分析：（1）由题意知，且解得，故椭圆的方程为.（2）联立 得，同理得的坐标为，表示整理得，从而为定值.试题解析：（1）由题意知，且解得椭圆的方程为.（2）由（1）可得，设，可得：，联立方程 ，同理，直线与椭圆交点的坐标为设：，代入可得，为定值.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.13
