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1、2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1. 已知实数，且满足，.则的值为（ ）.（A）23 （B） （C） （D）答：选（B） a、b是关于x的方程的两个根，整理此方程，得， ， ，.故a、b均为负数. 因此.2. 若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有 （ ）.（A） （B） （C） （D）答：选（C） ， ，；因此，结论（A）、（D）显然不正确.设
2、斜边为c，则有，即有，因此，结论（B）也不正确.由化简整理后，得，因此结论（C）是正确的.3一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）. （A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）只有和答：选（A）由顶点为（4，），抛物线交x轴于两点，知a0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为，即为方程的两个根.由题设，知，所以.根据对称轴x=4，即有，知b0时，方程无实根；（2）当xAD)，BC=CD=12, ，若AE=10，则CE的长为 .答：4或6（第9题图）解：延长DA至M，使BMBE. 过B作BGAM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以B
3、C=BG. 又， RtBECRtBMG. BM=BE，ABEABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=，AD=，DE=.在RtADE中， ，即，解之，得，.故CE的长为4或6.10实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 .答：解： ， x、y是关于t的一元二次方程的两实根. ，即，. ，当时，.故z的最大值为.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分
4、钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段.（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以（第11（A）题图）解得，.所以，. （5分）（2）当时，.所以，当时，令y=36，得，解得x=4，（舍去）；当时，令 y=36，得，解得. （10分）因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授
5、完这道竞赛题. （15分）12已知a，b是实数，关于x，y的方程组有整数解，求a，b满足的关系式.解：将代入，消去a、b，得 ， （5分）.若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不可能. 所以x+10，于是.因为x、y都是整数，所以，即或0，进而y=8或0. 故 或 （10分）当时，代入得，；当时，代入得，.综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数.（15分）13D是ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是ABC外接圆上一点，使得，求的值.解：连结AP，则，所以，APBADP， （5分），所以， （10分）（第13（A）题图）所以. （15分） 14已知，且，求的最小值. （第14（A）题图）解：令，由，判别式，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点，因为，不妨设，则，对称轴，于是， （5分）所以， （10分）故，当，b=0，c=1时，等号成立.所以，的最小值为4. （15分）8
