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1、北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是（ ）A. k1k2k3 B. k1 k3 k2 C. k3 k2 k1 D. k2 k3 k12. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 3. 过点（-l，3）且与直线x-2y+3
2、=0平行的直线方程是（ ）A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=04. 已知球O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为，则球O的表面积为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 65. 在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得p=xa+yb+zc。正确命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 如图所示，已知空间四边形O
3、ABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos（，）的值为（ ）A. B. 0 C. D. 7. 如图，点O为正方体ABCD-ABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A. B. C. D. 二、填空题共6小题，共30分。 9. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为_。 10. 过原点且
4、倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0所截的弦长为_。 11. 正四面体棱长为，则它的体积是_。 12. 若直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则m的值是_。13. 如图，在一个60的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_。14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_；截得的平面图形中，面积最大的值是_。三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
5、15. （12分）已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上。（1）求直线PQ的方程；（2）圆C的方程；（3）若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程。 16. （12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。（1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当PA平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积。17. （12分）已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。（1）若Q（1，0），求切线
6、QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值；（3）若|AB|=，求直线MQ的方程。18. （14分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。（1）求证：B1C平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大小； （3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。参考答案1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A 9. 10. 10. 211. 12. 13. 2 14. 2；315. （1）直线PQ的方程为x+y-2=0。（2）圆C的方程为（x-1）2+y
7、2=13。（3）设直线l的方程为y=-x+m，A（x1，m-x1），B（x2，m-x2），由题意可知OAOB，即=0，所以x1x2+（m-x1）（m-x2）=0，化简得2x1x2-m（x1+x2）+m2=0。（*）由得2x2-2（m+1）x+m2-12=0，所以x1+x2=m+1，x1x2=。代入（*）式，得m2-12-m（m+1）+m2=0，所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式0，所以直线l的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。16. （1）因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC。又因为BD平面ABC，所以PABD。 （2）因为AB=BC，D为AC中点，所以BDAC。 由（1）知，
8、PABD，所以BD平面PAC。 所以平面BDE平面PAC。 （3）因为PA平面BDE，平面PAC平面BDE=DE，所以PADE。因为D为AC的中点，所以DE=PA=l，BD=DC=。由（1）知，PA平面ABC，所以DE平面ABC。所以三棱锥E-BCD的体积V=BDDCDE=。 17. （1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，所以，所以m=或0，所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。（2）因为MAAQ，所以S四边形MAQB=|MA|QA|=|QA|=。 所以四边形QAMB面积的最小值为。 （3）设AB与MQ交于P，则MPAB，MBBQ，所以|MP|
9、=。 在RtMBQ中，|MB|2=|MP|MQ|，即1=|MQ|，所以|MQ|=3，所以x2+（y-2）2=9。 设Q（x，0），则x2+22=9，所以x=，所以Q（，0），所以MQ的方程为2x+y+2=0或2x-y-2=0。18. （1）连结AB1交A1B于M，连结DM，因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点。 因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，所以MDB1C。 因为MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD。 （2）作COAB于O，所以CO平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建
10、立空间直角坐标系O-xyz。 因为AB=2，AA1=，D是AC的中点。 所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，），A1（1，0），所以D（，0，），=（，0，），=（2，0）。 设n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，所以即令x=-，则y=2，z=3，所以n=（-，2，3）是平面A1BD的一个法向量。由题意可知=（0，0）是平面ABD的一个法向量，所以cos=。由题知二面角A1-BD-A为锐角，所以它的大小为。（3）设E（1，x，0），则=（1，x-，-），=（-1，0，-），设平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），所以即令z1=-，则x1=3，y1=，m=（3，-），又mn=0，即-3+-3=0，解得x=，所以存在点E，使得平面B1C1E平面A1BD且AE=。- 7 -
