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1、上海市奉贤区2018届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，则_【答案】【解析】集合集合集合故答案为.2. 已知半径为2R和R的两个球，则大球和小球的体积比为_【答案】8【解析】球的体积公式为（为球的半径）半径为2R和R的两个球，则大球和小球的体积比为故答案为8.3. 抛物线的焦点坐标是_【答案】【解析】试题分析：即，所以抛物线的焦点坐标是（0，）。考点：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质。点评：简单题，首先应将抛物线方程化为标准方程。4. 已知实数满足，则目标函数的最大值是_【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域如图
2、所示：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，.故答案为4.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边. 若，则_【答案】【解析】根据余弦定理可得故答案为.6. 三阶行列式中元素的代数余子式为，则方程的解为_【答案】【解析】由题意知.，即.故答案为.7. 设是复数，表示满
3、足时的最小正整数，是虚数单位，则_【答案】4【解析】表示满足的最小正整数当时满足第一次成立故答案为.8. 无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若， 则_【答案】或【解析】数列为无穷等比数列，即，即.或故答案为或.9. 给出下列函数：；. 从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是_【答案】【解析】对于，定义域为，且，故为奇函数；对于，定义域为，且，故既不是奇函数也不是偶函数；对于，定义域为，且，故是偶函数；对于，定义域为，且，故是偶函数；对于，是正切函数，故是奇函数；对于，定义域为，且，故是偶函数；对于，定义域为，且，故是奇函数.共有3个奇函数，3个偶函数从这7个函数
4、中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是.故答案为.10. 代数式的展开式的常数项是_（用数字作答）【答案】3【解析】的通项公式为.令，得；令，得.常数项为故答案为.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11. 角的始边是x轴正半轴，顶点是曲线的中心，角的终边与曲线的交点A的横坐标是，角的终边与曲线的交点是B，则过B点的曲线的切线方程是_（用一般式表示）【答案】【解析】由题意可得：角的终边
5、与曲线的交点的纵坐标是或，设曲线的中心为.当点的坐标是时，.，角的终边与曲线的交点是过点的曲线的切线方程是，即.当点的坐标是时，.，角的终边与曲线的交点是过点的曲线的切线方程是，即.综上，过点的曲线的切线方程是.故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的二倍角的运用及圆的切线方程的求解，对于这类题目，首先利用已知条件得到切点的坐标，进而可得到切线的斜率，利用点斜式方程即可得到圆的切线的一般方程，因此正确求出切点的坐标是解题的关键.【答案】【解析】由题意，令，解得.函数的最小正周期为，当时，可得第一个对称轴，当时，可得.函数在上有条对称轴根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称
6、，关于对称，即，.故答案为.点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知曲线的参数方程为，则曲线为（ ）A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线【答案】A【解析】由代入消去参数t 得又所以表示线段。故选A14. 设直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）A. 垂直
7、 B. 平行 C. 直线l在平面内 D. 直线l在平面内或平行【答案】D【解析】直线的一个方向向量，平面的一个法向量直线在平面内或平行故选D.15. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（ ）A. 2018 B. 4036 C. 2019 D. 4038【答案】C【解析】正数数列是公比不等于1的等比数列，且，即.函数令，则故选C.16. 设，函数，下列三个命题： 函数是偶函数； 存在无数个有理数，函数的最大值为2； 当为无理数时，函数是周期函数. 以上命题正确的个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】对于，所以函数是偶函数，故正确；对于，因为，所以当时，
8、故存在无数个有理数，函数的最大值为2，故正确；对于，因为的周期是，的周期是，的最小公倍数是函数的周期，当为无理数时，为无理数，所以与无最小公倍数，即，无最小公倍数，所以函数不是周期函数，故错误.所以正确的个数是2个.故选B.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知几何体的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.（1）求几何体的体积；（2）求直线CE与平面AED所成角的大小.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由该几何体的三视图可知平面，且，利用体积公式，可求该几何体的体积；（2）分别以、方向为、轴建立
9、空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得直线与平面所成角的大小.试题解析：（1）由该几何体的三视图可知平面，且，.几何体的体积(2)分别以、方向为、轴建立空间直角坐标系，则：、.所以，设平面的法向量为，于是可以取.设与平面所成的角为，则：.与平面所成的角为.点睛：本题主要考查空间几何体体积以及用空间向量求直线与平面所成的角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系
10、；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18. 已知函数，. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知在上单调递减，求实数k的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）求出函数的定义域，利用奇偶性的定义即可判断；（2）【方法一】，利用单调性的定义法及在上单调递减，推出不等式，解不等式即可求实数k的取值范围；【方法二】设，则，结合复合函数的单调性的性质，再对进行分类讨论，即可求得实数k的取值范围.试题解析：（1）函数定义域为不是奇函数令恒成立，所以当时，函数为偶函数；当时，函数是非奇非偶函数（2）【方法一】对任意，且，有恒成立.恒成立，即.【方法二】设，则，当时，
11、函数在上单调递减，所以满足条件；当时，时单调递减，单调递增.，即.19. 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第个月从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和是正整数，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同； 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人； 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，求的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400
12、以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，进而求得，利用规律可求得三角函数解析式中的振幅，和，则函数的解析式可得；（2）利用余弦函数的性质根据题意求得的范围，进而求得的范围，再根据，进而求得的值.试题解析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，所以.该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人，2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，解得.最少的2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，
13、即.（2）令答：一年中月是该地区的旅游“旺季”.20. 设复平面上点对应的复数 （为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，为坐标原点. （1）求点的轨迹方程；（2）求直线的方程；（3）设PQR三个顶点在曲线上，求证：当是PQR重心时，PQR的面积是定值.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）【方法一】根据椭圆的定义可知，结合，即可求得点的轨迹方程；【方法二】根据复数的性质，化简即可得点的轨迹方程；（2）【方法一】根据双曲线:与曲线有共同焦点，求得双曲线的方程，进而可得双曲线的渐近线方程，设直线的
14、方程为，联立渐近线方程与直线的方程，求得，的坐标，再根据，即可求得直线的方程；【方法二】联立直线的方程与双曲线的方程，结合韦达定理，再根据，即可求得直线的方程；（3）【方法一】设，由是PQR重心可得，根据，即可求得定值；【方法二】设、，则有：，推出，代入到椭圆方程，结合，即可求得定值.试题解析：（1）【方法一】由题意知，点的轨迹为椭圆.点的轨迹方程为.【方法二】由题意知，,整理得.点的轨迹方程为（2）【方法一】与有共同焦点，即双曲线的方程为双曲线的渐近线方程设直线的方程为.联立方程，得.，即直线的方程为.【方法二】与有共同焦点，即.双曲线的方程为设直线的方程为，联立方程得到.，即直线的方程为.（3）【方法一】设,.为的重心 （.不妨设,则. 【方法二】设、
