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1、2018届上海市虹口区高三下学期教学质量监控（二模）数学试题（解析版） （时间120分钟，满分150分） 2018.4一填空题（16题每小题4分，712题每小题5分，本大题满分54分）1已知，且，则实数的范围是 2直线与直线互相平行，则实数 3已知，则 4长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，则 5已知函数 ，则 6从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 7已知数列是公比为的等比数列，且，成等差数列，则 _8若将函数表示成则的值等于 9如图，长方体的边长 ， ，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于 10椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩
2、形的面积的最大值为_. 11是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是 12函数，对于且（），记，则的最大值等于 二选择题（每小题5分，满分20分）13下列函数是奇函数的是（ ） 14在中，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（ ） 15直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，则等于（ ） 4 816已知数列的首项，且，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）不存在和使得 不存在和使得不存在和使得 不存在和使得 三解答题（本大题满分76分） 17（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，,
3、，高等于3，点，为所在线段的三等分点（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；（2）求异面直线，所成的角的大小 18（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若 ，求边长的值；（2）求面积的最大值.19（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（
4、2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，；是“等比向量列”，“公比”，.求 20（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是； （2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点；（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由21（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）
5、小题8分.）已知函数（，），（）.（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；（2）判断在和的单调性，并说明理由；（3）证明：函数存在零点q，使得成立的充要条件是虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（16题每小题4分，712题每小题5分，本大题满分54分）1、； 2、2； 3、； 4、2； 5、； 6、； 7、或； 8、20； 9、； 10、； 11、或； 12、16； 二、选择题（每小题5分，满分20分）13、； 14、； 15、； 16、；一. 填空题（小题解析）1. 已知，且，则实数的范围是 【解析】画数轴，2. 直线与直线互相平行，则实数
6、 【解析】由3. 已知，则 【解析】，4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为、，则 【解析】设三边为a、b、c，对角线为d，也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数，则 【解析】，6. 从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 【解析】7. 已知数列是公比为的等比数列，且、成等差数列，则 【解析】，或8. 若将函数表示成，则的值等于 【解析】，9. 如图，长方体的边长，它的外接球是球，则、这两点的球面距离等于 【解析】外接球半径为1，球面距离为10. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数
7、学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为11. 是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是 【解析】当，；当，满足条件的所有实数解为或12. 函数，对于且（），记，则的最大值等于 【解析】在有4个周期，最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【解析】由，选B14. 在Rt中，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. C. D. 【解析】建系，设，时取到最小值，此时，选C15. 直线与圆交于、两点，且，过点、分别作的垂线与轴交于点、，则等于（ ）A. B. 4 C. D
8、. 8【解析】长为直径，经过原点，选D16. 已知数列的首项，且，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在和使得 B. 不存在和使得C. 不存在和使得 D. 不存在和使得【解析】令，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选A. 三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1） ， 2分 ，到平面的距离等于，即到平面的距离等于， 三棱柱 的体积等于（立方单位），三棱锥的体积等于（立方单位）7分（2）取线段的三等分点，连，. ， 的大小等于异面直线，所成的角或其补角的大小.9分 ， ， . . 异面直线，所成的角的大小等
9、于.14分18、（14分）解：（1）的两个根为.2分 ， ， .4分 ， ，得7分（2）.，从而，等号当时成立，此时.的面积的最大值等于.14分19、（14分）解：（1）设，.由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列.3分.6分（2）设 ，.由，从而，.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.由得，又，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有，.10分令.-得，得令从而14分20、（16分解：（1）由点在椭圆上，有，在直线上当时，由，得，直线方程为，代入椭圆方程得，得一个交点，直线是椭圆切线.当时
10、，有，直线为代入椭圆方程得，有，直线是椭圆切线.4分另解：不讨论将椭圆方程化为，将直线方程代入消，得到的一元二次方程，然后证明（2）点不在坐标轴上，得. ，得6分过点的切线为，得.由，得，从而有，点是线段的中点.9分（3）,的方向向量，.，记与的夹角，与的夹角.12分，所以，有，从而有与直线，所成的夹角相等.16分21、（18分）解：(1) 由，得 3分（2）设 ，当 时， ， ， ，有， .6分当 时， ， ， ，有， .当时， ， ， . 在递减，在和上递增，从而在上递增.10分(3) 充分性：当时，有，又，函数在内的图像连续不断，故在内一定存在零点且 ，有，得，从而.14分必要性：当时，.当时，由成立，可得从而得，由（2）中的结论可知在递减，在递增，从而，或 .从而，时，有.18分10
