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1、绝对值（提高）【学习目标】1掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小（3）一个有理数
2、是由符号和绝对值两个方面来确定的2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0要点二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则ab2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab
3、；若a-b0，ab；反之成立4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立 若a、b为任意负数，则与上述结论相反5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1) ， (2)|-4|+|3|+|0|4+3+07， (3)-|+(-8)|-(-8)-8【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还
4、是0再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0从而求出该数的绝对值2（2015娄底）若|a1|=a1，则a的取值范围是（）A. a1 B. a1 C. a1 D. a1【思路点拨】根据|a|=a时，a0，因此|a1|=a1，则a10，即可求得a的取值范围【答案】A【解析】解：因为|a1|=a1，则a10，解得：a1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0举一反三：【变式1】 （2015重庆校级模拟）若a3，则|62a|= （用含a的代数式表示）【答案】2a-6【变式2】如
5、果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 如果x21，那么x ； 如果x3，那么x的范围是 【答案】6或-6；1或3；或【变式3】已知| a |3，| b |4，若a，b同号，则| a +b |_；若a，b异号，则| a+b |_据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|a|+|b|，由此可得：|a+b|a|+|b| .类型二、比大小 3 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号
6、再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)5，-|-5|-5 因为正数大于一切负数，所以-(-5)-|-5|(2)化简得：-(+3)-3因为负数小于零，所以-(+3)0(3)化简得：这是两个负数比较大小，因为，且所以 (4)化简得：-|-3.14|-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-|，|-3.14|3.14，而3.14，所以-|-3.14|【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断举一反三：【高清课堂
7、：绝对值比大小 例（简单举例）】【变式1】比大小： （1） 0.3 （2） 【答案】；【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】【变式2】比大小：（1）_1.384；（2） _3.14【答案】；【变式3】若m0，n0，且|m|n|，用“”把m，-m，n，-n连接起来【答案】解法一： m0，n0， m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数 又 正数大于一切负数，且|m|n|， m-nn-m 解法二：因为m0，n0且|m|n|，把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示 数轴上的数右边的数总比左边的数大， m-nn-m类型三、含有字母的绝对值的化简 4. 把下列各式去掉绝对值的符号 (1
8、)|a-4|(a4)；(2)|5-b|(b5)【答案与解析】(1) a4，a-40， |a-4|a-4 (2) b5， 5-b0， |5-b|-(5-b)b-5【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：.【答案】解：由图所示，可得 ， 原式【变式2】求的最小值【答案】解法一：当时，则 当时，则 当时，则综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ； ； .的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和 由图明显看出时取最小值所以，时，取
9、最小值5.类型四、绝对值非负性的应用 5. 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_，b=_【答案与解析】由，可得 【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0几个非负数的和为0，则每一个数均为0举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是_【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值【答案】解：由题意得 所以，类型五、绝对值的实际应用6正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30
10、，+15，-40裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由【答案与解析】 解：因为+10+15-20-25+30-40，所以检测结果为+10的足球的质量好一些所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛【总结升华】绝对值越小，越接近标准. 举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】解：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+10+8+6+12+1054(cm)小虫得到的芝麻数为542108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.6
