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1、二面角的平面角题型归纳与方法求二面角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二面角的关键是首先知道二面角的平面角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度，把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角。一、法向量求二面角步骤1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一定对称关系，（如正三棱柱、正四棱柱等）利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系。2、求法向量：一般用待定系数法
2、求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为n（x，y，z）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（3）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。3、利用数量积公式求角：设，分别是两个半平面的法向量，则由求得，而的大小或其补角的大小即为二面角的大小，应注意，的方向。所以二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，他等于两法向量的夹角或其补角。二、考题剖析ABQDCP例1、在四棱锥中，平面，底面为矩形，. ()当时，求证：；()若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值. 解：()当时，底面为正方形，又因为,面又面,
3、() 因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，令，可得则设，则yABQDCPxz要使，只要即 ,由，此时。所以边上有且只有一个点，使得时，为的中点，且 设面的法向量则即解得 取平面的法向量,则的大小与二面角的大小相等所以,因此二面角的余弦值为 点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.求解法向量一般借助方程思想，几何问题代数化，求得法向量再结合向量数量积公式求得二面角。例2、在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC = CD = 1求二面角CABD的大小
4、；ABCD 分析：由于本题中没有垂直关系，需要寻找（或作出三线垂直的直线）。解：根据已知容易证明，设以过B点且CD的向量为x轴，为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)ABCDxyz平面ABC的法向量 = (1，0，0)设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则取n = (1，1，0) 二面角CABD的大小为45点评：解决本题关键是建立合适的直角坐标系，求得点的坐标，从而求得法向量。再利用公式出空间角。例3、如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点 （1）证明 /
5、平面； （2）求二面角的平面角的余弦值；【解析】（1）以为坐标原点，分别以射线所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则， 设 是平面的一个法向量，则由 得，取得 ，又平面，所以平面 （2）由（1）知是平面的一个法向量，又是平面的一个法向量 设二面角的平面角为，由图可知故二面角的余弦值为点评：第一问应用向量直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦；可见运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论.EDCBAAMA例4、如图所示的几何体中,平面，,，是的中点.()求证:;()求二面角的余弦值.解: 分别以直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以. ()证: ,即.zyxEDCBAAMA()解:设平面的法向量为, ，由,得取得平面的一非零法向量为 ，又平面BDA的法向量为 ，二面角的余弦值为. 点评：求解本题难点是正确写出相关点的坐标，再结合公式求解。
