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1、12020年高考数学立体几何突破性讲练07利用空间向量求空间角一、考点传真：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用二、知识点梳理：空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos|cos|其中为异面直线a，b所成的角，范围是.(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos|，的取值范围是.(3)求二面角的大小如图，AB，CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，
2、则二面角的大小，如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足coscosn1，n2或cosn1，n2取值范围是0，三、例题：例1. （2019全国卷）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值例2. （2019北京卷）如图，在四棱锥中，E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：；（）求二面角的余弦值;（）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.例3. （2019浙江卷）如图，已知三棱柱，平面平
3、面,，分别是AC，A1B1的中点.例4（2018全国卷）如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值例5. （2018江苏卷）如图，在正三棱柱中，点，分别为，的中点(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值四、巩固练习：1.在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60B75C90D1052已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135 C45或135 D903如图所示，已知正方体ABCDA1B1
4、C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A60 B45C30 D1354如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A. B. C. D.5如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点若PDA45，则EF与平面ABCD所成的角的大小是()A90 B60 C45 D306在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA
5、与平面DEF所成角的正弦值为()A.BCD7把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为()A120 B30 C90 D608二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB2，AC3，BD4，CD，则该二面角的大小为()A30B45C60D1209已知正三棱柱ABCA1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A. B. C. D.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(
6、)A. B. C. D.11已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为()A. B. C. D.12如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.BC.D13在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_14如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD11，则AF与CE所成角的余弦值为_15正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边
7、长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_16已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为_17.如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值18.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA
8、的正弦值19.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M是AB的中点(1)证明：BC1平面MCA1；(2)若BMC是正三角形，且ABBC1，求直线AB与平面MCA1所成角的正弦值20.如图，四棱锥FABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，G分别是CD，AF的中点，AF4, FAEBAE，且二面角FAEB的大小为90.(1)求证：AEBG；(2)求二面角BAFE的余弦值21.如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DABDCB，E为线段BD上的一点，且EBEDECBC，连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD平面CGF；(2)若BC2，PA3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值22如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA12，D为棱CC1的中点，AB1A1BO.(1)证明：C1O平面ABD；(2)设二面角DABC的正切值为，ACBC，E为线段A1B上一点，且CE与平面ABD所成角的正弦值为，求的值2
