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1、【2013年中考攻略】专题15：函数关系式的建立方法探讨 “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”这是课标关于模型思想的一段描述。因此，各地中考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。结合2012年全国各地中考的实例，
2、我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。 确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。这是平面解析几何的重要内
3、容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (xh) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a1，2a3)都在直线l上，
4、Q(m，n)是直线l上的点，则(2mn3)2的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a=0，则P1（1，3）；再令a=1，则P2（0，1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k0）， ，解得 。直线l的解析式为：y=2x1。Q（m，n）是直线l上的点，2m1=n，即2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且SBOC=2，求点C的坐标【答案】解：（
5、1）设直线AB的解析式为y=kx+b，直线AB过点A（1，0）、点B（0，2），解得。直线AB的解析式为y=2x2。（2）设点C的坐标为（x，y），SBOC=2，2x=2，解得x=2。y=222=2。点C的坐标是（2，2）。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及SBOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是
6、游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，图象经过（0，1500），（25，1000），解得：。排水阶段解析式为：y=20t+1500。清洗阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c，图象经过（195，1000），（95，0），解得：。灌水阶段解析式为：y=10t950。（2）排水阶段解析式为：y=20t+1500，令y=0，即0=20t+1500，解得：t=75。
7、排水时间为75分钟。清洗时间为：9575=20（分钟），根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用时间为：24595=150（分钟）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的解析式是【 】A B C D 【答案】B。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点
8、的坐标与方程的关系。【分析】设反比例函数图象设解析式为，将点（1，2）代入得，k=12=2。则函数解析式为。故选B。例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求ABD的面积；(3)将AOC绕点C逆时针旋转90，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由【答案】解：(1)四边形OCEF为矩形，OF2，EF3，点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)把x0，y3；x2，y3分别代入yx
9、2bxc，得，解得。抛物线所对应的函数解析式为yx22x3。(2)yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为D(1，4)。ABD中AB边的高为4。令y0，得x22x30，解得x11，x23。AB3(1)4。ABD的面积448。(3)如图，AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA1，OC=3，点A对应点G的坐标为(3，2)。当x3时，y3223302，点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利
10、用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 【答案】y=x2+4x3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），可设抛物线的解析式为y=a（x2）2+1。 又抛物线y=a（x2）2+1经过点B（1，0），（1，0）满足
11、y=a（x2）2+1。 将点B（1，0）代入y=a（x2）2得，0=a（12）2即a=1。 抛物线的函数关系式为y=（x2）2+1，即y=x2+4x3。例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0
12、），B（2，0）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2）， 将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）CHMAOC，MCH=CAO。（i）如图1，当H在点C下方时，MCH=CAO，CMx轴，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如图2，当H在点C上方时，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=k
13、x2，把P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=。M（）。在x轴上取一点D，如图3，过点D作DEAC于点E，使DE=，在RtAOC中，AC=。COA=DEA=90，OAC=EAD，AEDAOC，即，解得AD=2。D（1，0）或D（3，0）。过点D作DMAC，交抛物线于M，如图则直线DM的解析式为：y=2x+2或y=2x6。当2x6=x2x2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2时，即x2+x4=0，解得。 点M的坐标为（）或（）。练习题：1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为1
14、0吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量（注：总成本=每吨的成本生产数量）2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰RtABC，BAC=90求过B、C两点直线的解析式3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】A B C D4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2bxc的解析式； y随x变化的部分数值规律如下表：x10123y03430 有序数对（1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2bxc； 已知函数y=ax2bxc的图象的一部分（如图） (2)直接写出
