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1、相交线，垂线（提高）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻
2、补角(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角(4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边；另一边互为反向延长线.2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角(2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3. 邻补角与对顶角对比： 角的名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成的角； 有一个公共顶点；没有公共边. 对顶角相等.都是两条直线相交而成的角；都有一个公共
3、顶点；都是成对出现的. 有无公共边；两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角两条直线相交而成；有一个公共顶点；有一条公共边. 邻补角互补. 【高清课堂：相交线 403101 两条直线垂直】知识点二、垂线1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB2垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使
4、直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在
5、性和唯一性（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离要点诠释：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分AOC，ON平分BOD，试说明OM和ON成一条直线。【答案与解析】解： OM
6、平分AOC，ON平分BOD（已知）， AOC=2AOM，BOD=2BON（角平分线定义）。AOC=BOD（对顶角相等），AOM=BON（等量代换）。AON+BON=180（邻补角定义），MON=AON+AOM=180（等量代换）， OM和ON共线。【总结升华】要得出OM和ON成一条直线，就要说明MON是平角，从图中可以看出AON是MON和平角AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即AOM和BON相等，本题得证。2.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，OF平分COE，2:14:l，求【答案与解析】解：设1x，则24x OE平分BOD， BOD212x 2+BOD
7、180，即4x+2x180， x30 DOE+COE180， COE150又 OF平分COE， COFCOE75 AOCBOD60， AOFAOC+COF60+75135【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:bm:n，在解题时设，这是常用的用方程思想解题的方法举一反三：【变式】已知的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32、87、58，其中只有一个答案是正确的，求的度数【答案】解法1： 的补角是一个锐角， 是一个钝角，即90180， 由已知三人计算出的答案分别为32、87、58，可知 解法2：由题意可知是一个钝角，即如果，那么，不满足；如果，那么，不满足；如果，那么，满足，所以此人计算
8、的答案正确所以【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的的度数，再验证是否正确3.（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？ 【答案与解析】解：（1）2对对顶角，4对邻补角。（2）将图（2）拆分为下图： 通过观察图形不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)答：图中共有12对对顶
9、角，24对邻补角【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交这样移动，可将抽象的问题直观化因为n条直线两两相交，最多有个交点每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。举一反三：【变式】（2015青岛模拟）如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，1的邻补角是 ，1的对顶角是 【答案】 2和 4； 3.由图形可知，1的对顶角是3，1的邻补角是2和4类型二、垂线4下列语句：两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。一条直线的垂线有无数条。空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；两条直线相交成四
10、个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。其中正确的是。【答案】【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。正确；正确，过任意一点都可以作；对于只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故错误；错误，必须是两个邻角相等，如下图：【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；关于
11、垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。举一反三：【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )A经过两点有且只有一条直线B两点之问的所有连线中，线段最短C在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直 D在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质 5. （2015春会宁县期中）如图，1=30，ABCD，垂足为O，EF经过点O求
12、2、3的度数【答案与解析】解：由题意得：3=1=30（对顶角相等）ABCD（已知）BOD=90（垂直的定义） 3+2=90即30+2=902=60【总结升华】本题考查了垂线，对顶角、邻补角注意：由垂直得直角【高清课堂：相交线403101 例4变式（1）】举一反三：【变式】如图，若OM平分AOB，且OM ON，求证：ON平分BOC.【答案】解：如图，OM平分AOB 1=2又OM ON 3=902由图可得：4=180223=18022 （902）=9023=4 ON平分BOC6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄 (1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时
13、，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹) (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)【答案与解析】解：(1)过点M作MPAB，垂足为P，过点N作NQAB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法举一反三：【变式1】如图所示，过A点作ADBC，垂足为D点【答案】解：如图所示 【变式2】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA4 cm，PB5 cm，PC2 cm，则点P到直线的距离是 ( )A2 cm B4 cm C5 cm D不超过2 cm【答案】D8
