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1、12020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算?3?其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量
2、与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB
3、=BC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)面面，面面，面，面， 面， ，又，面，(2)取中点为，连结， ， ， ， 以为原点，如图建系易知，则，设为面的法向量，令，则与面夹
4、角有，(3)假设存在点使得面， 设，由(2)知，有面，为的法向量，即，综上，存在点，即当时，点即为所求例3.（2011安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形（）证明直线；（）求棱锥的体积【解析】（）（综合法）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点 由于与都是正三角形，所以，OG=OD=2，同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合在和中，由和OC，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是的中位线，故BCEF（向量法）过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向
5、，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系由条件知则有所以即得BCEF（）由OB=1，OE=2，而是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ=，所以例4.（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面平面，=60，、分别是、的中点求证：（）直线平面；（）平面平面【证明】（）在PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF/PD又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF/平面PCD（）连结DB，因为AB=AD，BAD=60，所以为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABCD
6、，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD例5.(2010广东)如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，（）证明：；（）已知点为线段上的点，求平面与平面所成二面角的正弦值【证明】：（）连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以在中，在中，为等腰三角形，且点是底边的中点，故在中，所以为，且因为，且，所以平面，而平面，因为，且，所以平面，而平面，（）设平面与平面RQD的交线为由，知而平面，平面，而平面平面= ，由（）知，平面，平面，而平面，是平面与平面所成二面角的平面角在中，在
7、中，由知，由余弦定理得，由正弦定理得，即，故平面与平面所成二面角的正弦值为四、巩固练习：1.如图正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO，且FO平面ABCD.(1)求证：AE平面BCF；(2)求证：CF平面AEF.【解析】证明取BC中点H，连接OH，则OHBD，又四边形ABCD为正方形，ACBD，OHAC，故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(3，0，0)，C(1，0，0)，D(1，2，0)，F(0，0，)，B(1，2，0).(2，2，0)，(1，0，)，(1，2，).(1)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，得n(
8、，1).又四边形BDEF为平行四边形，(1，2，)，(2，2，0)(1，2，)(3，4，)，n340，n，又AE平面BCF，AE平面BCF.(2)(3，0，)，330，330，即CFAF，CFAE，又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.2.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点求证：(1)MN平面A1B1C1；(2)平面MBC1平面BB1C1C.【解析】证明由题意知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系不妨设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0,0,0)
9、，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA1底面A1B1C1.因为(2,0,0)，(0,1,1)，所以0，即.MN平面A1B1C1，故MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因为(1,2,0)，(1,0,2)，所以即，令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2,1，1)同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0,1,1)因为n1n22011(1)10，所以n1n2，所以平面M
10、BC1平面BB1C1C.3.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，DE2，M为线段BF的中点(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥MCDE的体积；(2)求证：DM平面ACE.【解析】(1)设ACBDO，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0)，D(1,0,0)，E(1,0,2)，M(1,0,1)，(0,0,2)，(1，0)，(2,0,1)，0，DEDC，SDECDEDC222，设平面DEC的法向量n(x，y，z)，则取x，得n(，1,0)，M到平面DEC
11、的距离h，三棱锥MCDE的体积VSCDEh2.(2)证明：A(0，0)，(0,2，0)，(1，2)，0，220，ACDM，AEDM，ACAEA，DM平面ACE.4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，设E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PDC.【解析】证明(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB.又ABCD是正方形，所
12、以OFAD.因为PAPDAD，所以PAPD，OPOA.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为，因为，且0，又因为EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因为，(0，a,0)，所以(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.5如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(
13、2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.【解析】证明如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)(1)(0,3,4)，(8,0,0)，(0,3,4)(8,0,0)0，即APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，.又(4,5,0)，(4，5,0)，则AB(0,3,4)0，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，BMBCB，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.6. 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.【解析】证明(1)取BC的中点O，连接PO，PBC为等边三角形，即POBC，平面PBC底面ABCD，BC为交线，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴
