《专题11 三角形综合问题（精讲）-2019年中考数学高频考点突破（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11 三角形综合问题（精讲）-2019年中考数学高频考点突破（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【课标解读】三角形综合问题是指针对三角形的知识点之间的综合性的考查，特别是等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质应用，及其与三角形相关的知识点之间的综合考查。【解题策略】从具体问题入手探索三角形知识点综合各点联系综合把握各个知识点之间的内在关系综合应用并解决问题 【考点深剖】考点一 关于图形全等的综合问题本类题大都含有基本图形“燕子图”，在条件给足的背景下，两个三角形是全等的，从图形变换条件，两个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称归纳几何基本图形，然后对基本图形进行变式与拓展，是学习几何图形相关知识的重要手段如：旋转模型三垂直模型,一线三等角模型,易错提示)已知两边及一边对角
2、对应相等的两个三角形，不全等，即“SSA”得不到两个三角形全等【典例1】如图1所示，A、E、F、C在同一直线上，AF=CE，过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD（1）试说明ME=MF；（2）若将E、F两点移至如图2中的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由【分析】（1）由DEAC，BFAC得到AFB=90，DEC=90，可根据“HL”证明RtABFRtCDE，则BF=DE，然后根据“ASA”可证明BFMDEM，根据全等的性质即可得到ME=MF；（2）上述结论仍然成立证明的方法与（1）一样在BFM和DEM中，BFMDEM（AAS），ME=MF；（2）解：上述结论仍然成立理
3、由如下：与（1）一样可证得RtABFRtCDE得到BF=DE，与（2）一样可证得BFMDEM，所以ME=MF考点二 关于图形变换的综合问题【典例2】（2018湖北江汉10分）问题：如图，在RtABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC=DC+EC；探索：如图，在RtABC与RtADE中，AB=AC，AD=AE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形ABCD中，ABC=ACB=ADC=45若BD=9
4、，CD=3，求AD的长【分析】（1）证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，ACE=B，得到DCE=90，根据勾股定理计算即可；（3）作AEAD，使AE=AD，连接CE，DE，证明BADCAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，BADCAE，BD=CE，ACE=B，DCE=90，CE2+CD2=ED2，在RtADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，BD2+CD2=2AD2；（3）作AEAD，使AE=AD，连接CE，DE，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=
5、CAD，在BAD与CAE中，BADCAE（SAS），BD=CE=9，ADC=45，EDA=45，EDC=90，DE=6，DAE=90，AD=AE=DE=6学科&网考点三 关于条件探究的综合问题【典例3】如图222，下列条件中，不能证明ABDACD的是 ( )ABDDC，ABACBADBADC，BDCDCBC，BADCADDBC，BDDC考点四 关于结论探究的综合条件思维定式是条件改变，结论必须改变，但有些条件改变了，但全等的关系仍然存在，导致结论不变.1全等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法2变化题目中某些条件，结论是否成立，关键是得到结论的核心是否仍然存在，比如：两个三角形是否仍然全等
6、或相似【典例4】(1)如图1，在四边形ABCD中，ABDC，E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图2，在四边形ABCD中，ABDC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论(2)ABACCF.证明：延长AE交DF的延长线于点G.E是BC的中点，CEBE.ABDC，BAEG.AEBGEC，AEBGEC.ABGC.AE是BAF的平分线，BAGFAG.ABCD，BAGG.FAGG.FAFG.ABCGAFCF.考点五 关于图形相似的综合问题【典例5】（2018岳
7、阳）已知在RtABC中，BAC=90，CD为ACB的平分线，将ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B处，连结AB，BB，延长CD交BB于点E，设ABC=2（045）（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若ABAC，试求CD与BE的数量关系（用含的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（+45），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设COE的面积为S1，COF的面积为S2，求（用含的式子表示）【解答】解：（1）如图1中，B、B关于EC对称，BBEC，BE=EB，DEB=DAC=90，EDB=ADC，DBE=ACD，AB=AC，BAB=DAC=
8、90，BABCAD，CD=BB=2BE（2）如图2中，结论：CD=2BEtan2（3）如图 3中，在RtABC中，ACB=902，EC平分ACB，ECB=（902）=45，BCF=45+，ECF=45+45+=90，BEC+ECF=180，BBCF，=sin（45），=，=sin（45）学科&网【讲透练活】变式1：(2018河北T239分)如图，AB50，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接AP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设BPN.(1)求证：APMBPN；(2)当MN2BN时，求的度数；(3)若BPN的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围变式2：已知：A
9、CB90，ACBC，ADCM，BECM，垂足分别为D，E.(1)如图1，线段CD和BE的数量关系是CDBE；请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明；(2)如图2，上述结论还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系(2)中的结论不成立结论：DEADBE.理由：ADCM，BECM，ACBBECADC90.ACDBCE90，BCEB90.ACDB.ACCB，ACDCBE(AAS)ADCE，CDBE.DECDCEBEAD，DEADBE.变式3：（2018莱芜9分）已知ABC中，AB=AC，BAC=90，D.E分别是AB.AC的中点，将ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度
10、（090）得到ADE，连接BD、CE，如图1（1）求证：BD=CE；（2）如图2，当=60时，设AB与DE交于点F，求的值【解答】解：（1）证明：AB=AC，D.E分别是AB.AC的中点，AD=BD=AE=EC由旋转的性质可知：DAD=EAE=，AD=AD，AE=AEAD=AE，BDACEA，BD=CE（2）连接DDDAD=60，AD=AD，ADD是等边三角形ADD=ADD=60，DD=DA=DBDBD=DDB=30，BDA=90DAE=90，BAE=30，BAE=ABD，又BFD=AFE，BFDAFE，在RtABD中，tanBAD=，=学科&网变式4：（2017乐山）在四边形ABCD中，B+
11、D=180，对角线AC平分BAD（1）如图1，若DAB=120，且B=90，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由（2）如图2，若将（1）中的条件“B=90”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）如图3，若DAB=90，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由【解答】解：（1）AC=AD+AB理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，D+B=180，B=90，D=90，DAB=120，AC平分DAB，DAC=BAC=60，B=90，同理AC=AD+AB（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E，（3）结论
12、：理由如下：过点C作CEAC交AB的延长线于点E，D+B=180，DAB=90，变式5：（2018广东）已知RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，如题图1，连接BC（1）填空：OBC= ；（2）如图1，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【解答】解：（1）由旋转性质可知：
13、OB=OC，BOC=60，OBC是等边三角形，OBC=60故答案为60（2）如图1中，OB=4，ABO=30，OA=OB=2，AB=OA=2，SAOC=OAAB=22=2，BOC是等边三角形，OBC=60，ABC=ABO+OBC=90，AC=2，OP=（3）当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E则NE=ONsin60=x，当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动作MHOB于H则BM=81.5x，MH=BMsin60=（81.5x），y=ONMH=x2+2x当x=时，y取最大值，y，当4x4.8时，M、N都在BC上运动，作OGBC于GMN=122.5x，OG=AB=2，y=MNOG=12x，
