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1、理科数学试卷第 1页共 6页 绝密启用前 衡阳市第八中学 2020 届新高三摸底模拟检测 理科数学试题卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。时量 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合|04PxRx，|3Qx
2、R x，则PQ A.3,4B.3,C.,4D.3,4 2设为虚数单位,复数满足?i?t h ? ? i?，则共轭复数的虚部为 A. ?i B.? ?iC. ? D.? ? 3已知 ? h ? log ?，? h log?，? h ? ? ?，则 a，b，c 满足 A. abcB. bacC. cabD. cb0,0ne)在区间1，e内有唯一零点，则n2 m1的取值范围为 A. 1 2 , 1 2 2 e ee e B. 1, 1 2 2 e ee e C. 1, 1 2 e e D 1 2 , 1 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13执行下面的程序框图，若 1
3、5 16 p ，则输出n的值为_ 14锐角三角形ABC中，30A ，1BC ，则 ABC面积的取值范围为_ 15四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直 角三角形，若2 24SC，则四棱锥SABCD的体积取值范围为_ 16已知 P 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)右支上的任意一点，经过点 P 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A，B 两点若点 A，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点， 当 AP 1 2 PB 时，AOB 的面积为 2b，则双曲线 C 的实轴长为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明
4、过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 3 ,2112 2 nn aSnan （1）求 n a的通项公式； （2）设 * 2 1 1 n n bnN a ，数列 n b的前n项和为 n T，证明： * 7 10 n TnN 理科数学试卷第 4页共 6页 18如图，在三棱锥VABC中，45ABC，2VB ，3VC ，1BC ，2 2AB ，且V 在平面ABC上的射影D在线段AB上 （）求证：DCBC； （）设二面角VACB为，求的余弦值 19近期，
5、某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广 期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计 了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用 扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表 1 所示： 根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图 (1)根据散点图判断，在推广期内， (c，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫 码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给 出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表 l 中的数据，求 y 关于 x 的回 归方程，并预测活动推
6、出第 8 天使用扫码支付的人次； (3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结 果如表 2 已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8 折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受 7 折优惠 的概率为，享受 8 折优惠的概率为，享受 9 折优惠的概率为根据所给数据以事件发生 的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用 参考数据： 理科数学试卷第 5页共 6页 其中 参考公式： 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公 式分别为：. 20 如图， 设抛物线 2 1: 4(0)Cymx
7、 m 的准线l与x轴交于椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的右 焦点 21 ,F F为 2 C的左焦点.椭圆的离心率为 1 2 e ，抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点P，连 接 1 PF并延长其交 1 C于点Q，M为 1 C上一动点，且在,P Q之间移动. （1）当 3 2 a b 取最小值时，求 1 C和 2 C的方程； （2）若 12 PFF的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ面积取最大值时，求面积最大值以 及此时直线MP的方程 21已知函数, .Ra （1）当时， 理科数学试卷第 6页共 6页 求曲线在点处的切线方程； 求函数在区间上的值域. （2）对于
8、任意，都有，求实数a的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y (为参数，以原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin. （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）已知曲线 3 C的极坐标方程为0,R ，点A是曲线 3 C与 1 C的交点，点B是曲 线 3 C与 2 C的交点，且,A B均异于原点O，且4 2AB ，求a的值. 23. 选修 45：
9、不等式选讲 已知( )22f xaxx. （1）在2a 时，解不等式( )1f x ； （2）若关于x的不等式4( )4f x 对xR恒成立，求实数a的取值范围. 理数答案 第 1页，总 11页 衡阳市第八中学 2020 届新高三摸底模拟检测 理科数学试题参考答案及解析理科数学试题参考答案及解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 题号123456789101112 选项DCBCBDDABDBA 1D.【解析】由题意得，0,4P ，( 3,3)Q ，( 3,4PQ ，故选 D. 2 、 C 【 详 解】 ?t h
10、? ? ?h ? ? ? ? ， t h ? ? ? h ? ? ? ? ? h? ?i， t h? ?i，复数的虚部为 ?故选 C 3、 B 【详解】 由题意， 可得 ? h ? log ? h log? ? h log?， ? h log? h log? ?， 又由 h log? 为单调递增函数， 且 ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? log? ? log? ? ，所以 ? ? ? ? ? ? ，又由? h ? ? ? ?h ?，所以 ? t ? t ?，故选 B. 4C【解析】函数 ? ? h ? ? ? ? ? ? 是偶函数，排除选项 点；当 ? ? 时， 函数 ? ? h ?
11、? ? ，可得 ? ? h ? ?，当 ? ? 两ln? 时，? ? t ， 函数是减涵数，当 ? ? ln? 时，函数是增函数，排除项选项 ?两项，故选 C. 5B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率 303 10010 p ，设军旗的面积为 S，由题意可得： 22 2 33363 ,11 11101010 S Smm . 本题选择 B 选项. 6、D【解析】由A，M，D三点共线可得存在实数t使得 OBOAtODOAtOMt1 2 1 t1，同理由C，M，B三点共线可得存在 实数m使得OAOBmOCOBmOMm1 4 1 m1， mt mt 1 2 1 1 4 1 ，解
12、得 理数答案 第 2页，总 11页 7 1 7 3 t m ， OBOAOM 7 3 7 1 ， 设OByOAxOFyOExOM， 则 7 3 7 1 y x ， 即 3 7 1 7 y x ，即7 31 ，故 7 3243 31 7 131 7 1 u ，即的最小值为 42 3 7 ，故选：D 7D【解析】由题意知，f(x)sin(x)，f(0) 3 2 ， 2，2 3 ， x0，2，2 3 x2 3 22 3 ，5 2 22 3 7 2 ，11 12 17 12. 8、A【解析】由容斥原理，全排减去 2 站两端的，再减去，1,3，5 不相邻，再 加上 2 站两端且 1,3，5 不相邻，所以
13、 N=360 一类：恰两个相邻，选 1,3,5 中 3 个选两个排，再与另外 4,6，排，最后插入 2，不插两端，方法数 22111211221 32223245223 AA C C CA C CA A C=72，二类，三个相邻，1,3,5 捆绑在一起，再与 4,5 排，最后插入 2，不插两端，方法数 331 332 A A C 360. 9、 【答案】B【解析】 因为ABC 是锐角三角形，所以 由正弦定理，可得： 理数答案 第 3页，总 11页 本题选择 B 选项. 10、【答案】 D 【详解】 由?h ?， 得 h ? ?， ， h ? ? 设 ?，?，点?，?， 则，?h ?h ? ? ，?h ?h ? ? ，抛物线在点 ? 处的切线方程为 h ? ? ? ? ? ? ?，点 点 处的切线方程为 h ? ? ? ? ? ? ?，由 h ? ? ? ? ? ? ? h ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? h ? ? h ? ? ，又两切线交 于点 ?，? ?， ? ? h ? ? h? ? ， 故得? ?h ?，?h? ? ? 过 ?，点 两点的切线垂直，? ? ? ? ? h? ，故?h? ?，? h ?，故得抛物线的方程为 ?h ?由题意得直线 ?点 的斜率存在，可设直线方程为 h ? ?， 由 h ? ? ?h ? 消去 y 整理得? ? ? h ， ? ?
