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1、宁夏石嘴山市2018届高三4月适应性测试（一模）数学（文）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由绝对值不等式得,故,故选.2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,=,选D.3. 已知向量，且，则实数（ ）A. 3 B. 1 C. 4 D. 2【答案】A【解析】,根据得,解得,故选A.4. 张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相
2、同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意设每天多织尺,依题意得,解得.故选B.5. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分，目标函数过点时，最小值为1，故选D考点：1、线性规划的可行域；2、线性规划的最优解6. 下列四个命题中真命题的个数是（ ）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；“是“”的必要充分条件；若为假命题，则均为假命题；若命题，则.A. 1 B. 2 C. 3 D.
3、4【答案】C【解析】正确；由得且，“”是“”的必要不充分条件，故正确；若为假命题，则至少有一个为假命题，故错误；正确；故正确的是.故选：C7. 函数的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，为偶函数，函数的图象关于轴对称，故排除，当时，故排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8. 某程序框图如图
4、所示，则该程序框图执行后输出的值为（表示不超过的最大整数，如）（ ）A. 4 B. 5 C. 7 D. 9【答案】C【解析】,判断否,判断否,判断否,判断否,判断否,判断是,输出.故选C.9. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥,故体积为.10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）A. 为奇法数，在上单调递減 B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 周期为，图象关于点对称 D. 为偶函数，在上单调递增【答案】B【解析】函
5、数左移后得到.故为偶函数,且在上递增,最大值为,对称轴为,故B选项正确,选B.11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于两点，且未等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】连接，可得，由焦距的意义可知，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，即，变形可得双曲线的离心率，故选A.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中
6、，根据双曲线的定义可以建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率12. 已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出函数的图象如下图所示,由图可知,要直线与函数有两个交点,当平行时,显然有两个交点,此时.,当时,只需求出当直线和曲线相切时的斜率即可,由于相切时交点只有个,结合选项,排除选项,故选C.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查分段函数与直线交点个数的判断方法,利用交点个数来推参数的取值范围.解决这类题目,首先根据分段函数的解析式画出函数的图象.然后将画在图象上,转动到特殊的位置,比如本题中和平行的位
7、置,还有和曲线相切的位置,由此排除错误选线得出正确结论.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在中的学生人数为_【答案】3.【解析】依题意,故的人数为人.14. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，则_【答案】-1.【解析】，故答案为：15. 在正项等比数列中，若成等差数列，则_【答案】.【解析】由于成等差数列,所以,即,解得.故.16. 设抛物线的焦点为，直线过焦点，且与抛物线交于两点，则_【答案】2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
8、） 17. 已知分别为内角的对边，且.（1）求角；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到，从而得解；（2）由余弦定理得，结合即可得最值.试题解析：（1），由正弦定理可得，在中，.（2）由余弦定理得，当且仅当时取等号，即面积的最大值为.18. 中华人民共和国道路交通安全法第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 中华人民共和国道路交通安全法第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统
9、计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：，.【答案】（1）49人.（2）.【解析】【试题分析】(1)利用回归直线方程公式计算出回归直线方程,将代入回归直线方程,求得预测值.(2)利用列举法求得基本事件的总数为种,其中符合题意的有种,故概率为.【试题解析】解：（1）由表中数据知，所求回归直线方程为.令，则人.（2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，设其编号分
10、别为，4月份应抽取3位驾驶员，设其编号分别为，从这7人中任选2人包含以下基本事件， ，共21个基本事件；设“其中两个恰好来自同一月份”为事件，则事件包含的基本事件是共有9个基本事件，.19. 如图所示，在三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）所以平面；（2）利用等体积法，所以点到平面的距离为.试题解析：()证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面 () 由()知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知，又平面，所以，设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，由得 ，即，即，所以，所以点到平面
11、的距离为.20. 已知椭圆过点，两个焦点的坐标分别为.（1）求的方程；（2）若（点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求所在直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为，列出方程组，求出，由此能求出椭圆E的方程;(2) 设代入得，利用韦达定理及，可得，即，由点P在椭圆上可得，表示三角形面积求最值即可.试题解析：（1）由已知得，则的方程为；（2）设代入得，设，则，设，由，得，点在椭圆上，即，在中，令，则，令，则.三角形面积，当且仅当时取得等号，此时，所求三角形面积的最小值为.点睛：在圆锥曲线中研究范围
12、，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.21. 已知函数（且）.（1）若函数在处取得极值，求实数的值；并求此时在上的最大值；（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【试题分析】(1)求得函数定义域和函
13、数导数,将代入函数的导数,利用导数值为解方程求得的值.再根据函数的单调性求出函数在区间上的最大值.(2)对函数求导后,对分成,两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得的取值范围.【试题解析】解：（1）函数的定义域为，在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；又，.当时，在的最大值为 （2）由于当时，是增函数，且当时，当时，取，则，所以函数存在零点 时，.在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取最小值.解得综上所述：所求的实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用函数的导数研究函数的极值和最值,考查利用导数研究函数的零点,以此求得参数的取值范围.根据函
14、数在某点处取得极值,可转化为在这点的导数为零,要注意验证在导数零点左右两侧的调性,若两边单调性相同,这该点不是函数的极值点.函数的极值点必须满足左减右增或者左增右减.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点坐标为，直线交曲线于两点，求的值.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到.解析：（1）由消去参数，得直线的普通方程为又由得，由得曲线的直角坐标方程为（2）其代入得，则所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.
