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1、高三年级四月份月考数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：解不等式得集合A,求函数定义域得集合B，根据交集定义求解集合交集即可.详解：集合，所以.故选B.点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题.2. 定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根基题中定义可得，利用除法运算可得，进而得，从而得解.详解：因为.复
2、数在复平面内对应的点为，故选A.点睛：本题主要考查了复数的乘法和除法运算，属于基础题，难度不大，但是注意题中问题是共轭复数，容易出错.3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ）A. 46,45 B. 45,46 C. 46,47 D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如
3、果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.4. 若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据圆心到直线的距离小于半径求出的范围，利用几何概型概率公式求解即可.详解：若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C.点睛：解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 ,
4、 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 九章算术中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为 ，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方
5、程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：若，则；若，则；若，则；若，则.其中说法正确的个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】分析：和可举反例，即可判断；运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例或与相交且与不垂直.详解：若，则，或；若，则，则，或；若，则,正确；若，则，或或与相交且与不垂直.故选C.点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】C【解析
6、】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）详解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.点睛： 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数，且在区间上有最小值，无最大
7、值，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由，结合条件可知直线为的一条对称轴，且，从而可得解.详解：,且，在区间上有最小值，无最大值，直线为的一条对称轴，又0，当时,=.易知当时，此时在区间内已存在最大值.故选D.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9. 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点坐标代入抛物线方程
8、，得，解得点，据题设分析知，又为外接球半径），外接圆面积，故选B.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（ ）A. 6 B. 9 C. 12 D. 18【答案】B【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，解得，的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.11. 已知点为双
9、曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，又，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
10、求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出的单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则 ，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问
11、题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为60，则_【答案】6【解析】分析：先求出向量与的数量积，把平方后，将，代入所求数量积代入，即可的结果.详解：与的夹角为，又，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量
12、数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14. 若，则_【答案】【解析】分析：由，根据同角三角函数之间的关系，求出与的值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解：由，可得.又，结合，可得.，故答案为.点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数满足不等式组则的最大值是_【答案】12【解析】分析：画出不等式
13、组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】分析：取的中点，分别连接，易知（或其补角）是
14、异面直线与所成的角，根据正方体的性质，利用余弦定理可得结果.详解：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，在中，由余弦定理，得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前项和为，且成等差数列，（l）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）由成等差数列，可得，进而得两式相减可化为，由此得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得结果；（2）据（1）求解知，进而可得，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.详解：（1）因为成等差数列，所以，所以.，得，所以.又当时，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
