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1、河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1已知i是虚数单位，则复数( )A B C D.2设，那么等于（ ）A. B. C. D. 3曲线在点处的切线与
2、坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A. 2 B. C. D. 14定义的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中（5），（6）对应的运算是（ ）A. B. C. D. 5设在可导，则等于（ ）A. B. C. D. 6已知是关于的方程 （）的一个根，则（ ）A. B. C. D. 7以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（ ）A. B. C. D. 8在下列命题中，正确命题的个数是（ ）两个复数不能比较大小；复数对应的点在第四象限；若是纯虚数，则实数；若，则.A. 0 B. 1 C. 2 D. 39已知函数f(x)=12x2sinx+xcosx，则其导函数
3、f(x)的图象大致是（ ）A. B. C. D. 10“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化在这些医务人员中：护士不少于医生；男医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一位女医生”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ）A. 男护士 B. 女护士 C. 男医生 D. 女医生11给出定义：设是函数的导函数， 是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ）A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在直线上 D. 在直线上12若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：32
4、是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12第II卷（非选择题）二、填空题13复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于第_象限14已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于_15我们知道，在边长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值_16二维空间中圆的一维测量（周长），二维测量（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度=_三、解答题17求下列函数的导数.
5、（1）； （2）； （3）.18为何实数时，复数满足下列要求：（1）是纯虚数；（2）在复平面内对应的点在第二象限；（3）在复平面内对应的点在直线上.19设函数且.（1）试用反证法证明： ；（2）证明： .20若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.21设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.22已知数列的前n项和 (n为正整数)。（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，试比较与的大小，并予以证明河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）答 案1C【解析】
6、因为复数=2+i故选C2A【解析】由题得,故选A.3D【解析】由题得,所以,所以切线方程为当x=0时，y=2;当y=0时，x=1.所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故选D.4B【解析】通过观察得到A表示：“O”，B表示“”，C表示“1”，D表示“口”.所以（5）表示，（6）表示. 故选B.5A【解析】由题得=4，故选A.6A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为方程两根， ，选A.7A【解析】由题得，设切线的倾斜角为，则， ，故选A.8A【解析】对于选项,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项，复数对应的点在第二象限，所以该
7、命题是错误的.对于选项，若是纯虚数，则=0且0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项，若，可以，所以该命题是错误的. 故选A.9C【解析】f（x）=12x2sinx+xcosx，f（x）=12x2cosx+cosx， f（-x）=12（-x）2cos（-x）+cos（-x）=12x2cosx+cosx=f（x），其导函数f（x） 为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x+时，f（x）+，故排除D，故选：C点睛：本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于基础题10A【解析】由题设可知：若说话人是女护士，则的说法不正确，即答案B不真；若说话人是男医生，则的说法不正确，即答案C 错误
8、；若说话人是女医生，则的说法不真，据此可推测该说话人应是男护士人，应选答案A。点睛：本题考查的是推理与证明中的推理和论证能力的问题。解答时要综合运用好题设中所提供的有关有效信息，逐一作出真假的判定。推理时有时从正面进行推断，有时也从反面进行推证，即推理的方式有直接证明与间接证明两条途径。11A【解析】由题得.所以，所以拐点在直线上.故选A.12D【解析】根据题意个位数需要满足要求：n+（n+1）+（n+2）10，即n2.3，个位数可取0，1，2三个数，十位数需要满足：3n10， n3.3，十位可以取0，1，2，3四个数，故四个数的“开心数”共有34=12个故选D点睛：本题的关键是解题策略，本题
9、可以列举，但是比较复杂，所以可以通过分析得到个位数和十位数的特征，从而得到开心数的个数，比较简洁.13二【解析】由题得，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故填二.14【解析】由题得.所以，故填.15【解析】如图：由棱长为a可以得到BF=a， BO=AO=a，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4a=a，故选A16【解析】二维空间中的圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现，三维空间中球的二维测度（表面积），三位测度（体积），观察发现，所以四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则，故填点睛
10、：本题考查的是不完全归纳法，涉及观察、归纳、猜想，属于难题首先要学会观察题目给出的几个数据之间的关系，能够发现其关系就是前面的是后面的导数，只要发现并验证这个关系，就可以用其解决后面提出的问题，从而知17(1) ；(2) ；(3) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用商的导数的求导法则求解. (2)第（2）问直接利用和的导数求导. (3)直接利用复合函数的导数的求导法则解答.试题解析：（1）.（2）因为，所以.（3）函数看作和的复合复数，同样的可以求出的导数，所以题中函数的导数为.点睛：求导的关键是首先从总体上把握这个函数的结构，再去求导.如（3），函数就是两个复合函数的差，所以先求
11、两个复合函数的导数，再求它们导数的差.18(1) ；(2) ；(3) .【解析】试题分析：（1）先将复数化为的形式，再根据纯虚数的定义，即可求得实数的值；（2）把复数化为的形式后，再令即可求得实数的取值范围；（3）把复数化为的形式后，再利用即可求得的值.试题解析：（1） ，得，即时， 是纯虚数（2）由，得，即时， 在复平面内对应的点在第二象限.（3）由，得，即时， 在复平面内对应的点在直线上.考点：1、纯虚数；2、复平面.19(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）首先假设，从而由结合推出矛盾，使问题得证；（2）根据条件判断出， ，即可使问题得证试题分析：试题解析：证明：（1）假设，
12、将上述不等式相加得，这与矛盾，假设不成立，（2），考点：1、反证法；2、综合法【方法点睛】用反证法证明命题的一般步骤是第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.20.【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求函数的切线等基础知识，同时也考查学生分析问题解决问题的能力.先设直线与已知函数的切点，利用导数得切线斜率，既得切线方程，把点代入切线方程，可得切点坐标，从而得直线方程，又与相切，可得的值.试题解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，
13、由与相切可得.考点：利用导数求函数的切线方程.21(1) ；(2)证明见解析.【解析】解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y又f(x)a，于是，解得故f(x)x(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得，y，从而得切线与直线x0，交点坐标为(0， )令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为622（1）（2）当，当时.【解析】试题分析：（1）已知，一般利用进行化简条件，当时，又数列是首项和公差均为1的等差数列，于是.（2）由（1）得，是等差乘等比型，所以其和求法为“错位相减法”， 即得.数列中比较大小，一般用作差，即,而比较的大小，有两个思路，一是数学归纳法，二是二项展开式定理.试题解析：（1）在中，令n=1，可得，即 1当时， 2.又数列是首项和公差均为1的等差数列 4于是 .6(2)由（1）得，所以由-得 9 2于是确定的大小关系等价于比较的大小
