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1、函数模型【基本初等函数】指数函数定义： 对数函数定义： 幂函数定义： 【典型例题】函数模型的应用实例题型一：几类不同增长的函数模型例一.假设你是一个投资家，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每年比前一年多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？题型二：分段函数模型例二：学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间:开始时学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用表示学生的接受能力与时间有如下
2、的关系:(1)开讲后多长时间学生的接受能力最强?能维持多长时间?(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受能力何时强一些?(3)一个数学难题,要55的接受能力及13分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这个难题?题型三：指(对)数函数模型例三：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间， 表示t =0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下面是19501959年我国的人口数据资料：年份19501951195219531954
3、19551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？题型四：幂函数模型例四：在固定电压下,当电流通过圆柱体电线时,其电流强度I与电线半径的三次方成正比.(1)写出I与之间的函数关系式。(2)如电流通过半径为4的电线时,电流强度为320A,求电流通过半径
4、为的电线时,电流强度的表达式。(3)如(2)中电流通过的电线半径为5,求此时的电流强度。达标检测1某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010
5、.79991.00012某公司为实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%现有三个奖励模型:,问：其中哪个模型能符合公司的要求？3.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？【巩固提高】1.一家旅社有100间
6、相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率之间的关系如下：每间每天定价/元20181614住房率65758595要使每天收入达到最高，每天定价应为（ ）A20元 B18元 C16元 D14元2.（分段函数模型）电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟，收费0.2元；超过3分钟，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计算，则通话费S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象（如下图）可表示为（ ）3.某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天长成4米，那么长成0.25米要（ ）A1.25天 B5天 C16天 D12天4.有一批材料可以建成长200米的围墙
7、，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成矩形的最大面积是 .5.今有一组实验数据如下：1.993.04.05.16.121.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A. B. C. D.6.画出以下4个点：(15，7)，(50，25)，(60，34)，(100，80)，根据散点图，以下四种趋势，不应该选用（ ）A.指数 B. 乘幂 C.二次函数 D.对数7.设本金为a元，每期利率为r，本利和为为y，存期为x，按复利计算利息，则本利和y随存期x变化的函数式为8.下图是一
8、份统计图表，根据此图表可以得到的以下说法中，正确的有 （ ）这几年人民生活水平逐年得到提高；人民生活费收入增长最快的一年是2000年；生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；虽然2002年生活费收入增长较缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善A.1项 B.2项 C.3项 D.4项9.十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：，各种家庭的n如下表所示：家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕nn6050n6040n5030n40n30 根据某地区家庭抽样调查统计预测1998年至2005年间每户家庭支出总额每年
9、平均增加1000元，其中食品消费支出总额每年平均增加300元。（1）若1998年该地区家庭刚达到温饱，且该年度消费支出总额为10000元，问2003年能否达到小康？请说明理由。（2）若2003年比1998年的消费支出总额增加40%，而其中食品消费支出总额增加20%，问2005年能否达到小康？请说明理由。10.某城市自来水厂向全市供应生产与生活用水，蓄水池现有水前吨，水厂每小时向池中注入2千吨水，同时向全市供水，小时内供水总量为，问：（1）多少小时时池内水量最少？（2）当蓄水池水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么出现这种紧张情况有多长时间？（3）为了保证生产，生活的需要，决定扩大生产每小时向池内注水3千吨，能否消除供水紧张现象？为什么？11.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征收8元（收税率为8个百分点，即8%），计划可收购万担，为减轻农民的负担，决定税率降低个百分点，这样收购量预计可增加个百分点。（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）当不低于2个百分点时，求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要减少多少个百分点？6
