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1、2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于，所以到另一个焦点的距离为.【考点】椭圆定义2抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知可得 焦点为 ，故选C.3双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令渐近线方程为 ，故选B.4已知双曲线 的离心率为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可得 ，故选B.5已知是椭圆上
2、一点， 是其左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知可得 ，故选C.6设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（）A. B. C D . 【答案】C【解析】设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),因为直线l与圆相切，所以,解之得.7已知抛物线： ，过点的直线交抛物线于,若为坐标原点，则直线的斜率之积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】显然直线的斜率存在，设其方程为 ，由 ，故选A.8如果满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由上图可得作直线 ，将移至 点得最大值，由 ，故选C.利用线性规划求最值，
3、一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.9过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦， 是另一焦点，若，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可得 ，故选B.10过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设,直线 ，由 ，同理可得,故选D.11已知抛物线： 的焦点为，准线为， 是上一点， 是直线与的一个交点，若，则（ ）A. B. C.
4、 3 D. 2【答案】A【解析】由 可得直线 的倾斜角为 或 ，故选A.12已知抛物线： ，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由圆 圆心 ，半径，设 ，故选B.【点睛】解答本题的关键步骤是：1.确定圆的标准方程；2.根据两点距离公式求出 ；3.根据直角三角形三边关系求出；4.根据四边形面积公式求出.二、填空题13双曲线的实轴长为 _【答案】4【解析】由已知可得实轴长为 .14已知双曲线： ，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点,则直线的斜率为 _【答案】【解析】设，则 .【点睛】本题采用的是点差法求直线低
5、斜率，即设出弦的两个端点的坐标，这两个端点的坐标满足双曲线方程，把这两个端点坐标代入到双曲线方程，将所得的两个式子作差.15已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_【答案】4【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为，点为第一象限内的交点，令，则，解得。在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即。答案：4点睛：求双曲线离心率的常用方法（1）根据题意直接求出，由求解；（2）根据条件求得间的关系，由求解；（3）根据条件得到间的二次关系式，然后利用化为关于的二次方程求解。16已知椭圆： ，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为， ，线段的中点在上
6、，则_【答案】16【解析】又设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为线段 的中点，如图所示,由已知条件,易得分别是线段 的中点，则在 和 中,有 ，又由椭圆定义,得 ，故 .【点睛】解答本题的关键步骤是：1.根据已知画出图象；2.根据三角形中点性质得 ；3.根据椭圆定义得；4.得出答案.三、解答题17已知圆经过点 且圆心在直线上（）求圆的方程；（）过点的直线截圆所得弦长为 ，求直线的方程【答案】（） ；（） 或 【解析】试题分析：（1）由圆心在直线上,可设圆心C（）,再根据求出即可确定圆C的方程.（2）用点斜式设直线方程,但要考虑斜率存在与不存在两种情况,当斜率存在时设直线方程为,由圆心到直线的距离
7、可求.试题解析：（1）设圆心C（）,（1分）（4分）所以（5分）,圆C的方程为（6分）（2）若直线的斜率不存在,方程为,此时直线截圆所得弦长为,符合题意；若直线的斜率存在,设方程为由题意,圆心到直线的距离 直线的方程为综上,所求方程为或【考点】1圆的方程；2直线与圆.18如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面， ， ， 是棱的中点.（）证明：平面平面；（）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（） 【解析】试题分析：（I）易证得平面,再由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；(II)设棱锥的体积为,易求得，三棱术的体积为,于是得,从而可得答案.试题解析： （I）由题意知BCCC1，BCAC
8、，CC1AC=C，BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，DC1BC由题设知A1DC1=ADC=45，CDC1=90，即DC1DC，又DCBC=C，DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC；（II）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=11=，又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1，（VV1）：V1=1：1，平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；几何体的体积.【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱,棱锥,棱台的体积.着重考查直线与平面垂直的判定定理的应用与棱柱,棱锥的
9、体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.证明垂直问题时一定严格按照定理成立的条件规范书写过程,另注意问题的转化:线线垂直-线面垂直-线线垂直.本题难度中等.19（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，
10、点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：解：（1）由题意知，.又双曲线的焦点坐标为，椭圆的方程为.（2）若直线的倾斜角为，则，当直线的倾斜角不为时，直线可设为，由设，综上所述：范围为.【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.20如图，四棱锥的底面是边长为的正方形， 底面， 分别为的中点.（）求证： 平面；（）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角 的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说
11、明理由.【答案】（）证明见解析；（）满足条件的 存在，是 中点【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题取PD中点M，利用三角形中位线性质得，再结合平行四边形性质得四边形EFMA为平行四边形，从而得出EFAM，（2）涉及二面角问题，一般利用空间向量进行解决，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，结合向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角的关系列等量关系，求出待定参数试题解析：证明：（）取PD中点M，连接MF、MA，在PCD中，F为PC的中点，正方形
12、ABCD中E为AB中点，故四边形EFMA为平行四边形，EFAM，又EF平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD；（）结论：满足条件的Q存在，是EF中点理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0， ，0），F（， ，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设， ，设平面PAQ的法向量为，由，可得，由已知： ，解得： ，所以满足条件的Q存在，是EF中点【考点】线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐
13、标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”21已知椭圆的左、右焦点分别为短轴两个端点为且四边形是边长为的正方形（）求椭圆的方程；（）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点证明： 为定值【答案】（） ；（）证明见解析【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出，为此要列出关于的两个等式，由椭圆的性质及，四边形是边长为2的正方形，知；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设，写出直线方程，再代入椭圆方程求得点坐标，然后直接计算，可得定值试题解析：（1）， ，椭圆方程为（2）， ，设， ，则， ，直线，即，
14、代入椭圆得， ，（定值）【考点】椭圆的标准方程，椭圆的综合应用【名师点晴】1确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a，b的大小）当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为1 （ab0）或1 （ab0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2ny21 （m0，n0，且mn）2解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值22如图，抛物线： 与椭圆： 在第一象限的交点为， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点， 的面积为.（）求抛物线的方
