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1、2017届北京市朝阳区高三上学期期末考试数学文试题(word版) 2017.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集,集合,则A. B. C. D. 2.复数 A. 2i B. 22i C. 1+i D. 1i 3已知非零实数,满足,则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D. 4. 已知平面向量,则与的夹角为 A. B C. D. 5.已知,且,则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的(
2、)A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线 ,的左、右焦点分别是,M是双曲线上的一点,且|,|=1,则该双曲线的离心率是12俯视图正视图侧视图1A B C D或7某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥的体积为A. B. C. D.8某校高三(1)班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人,这两项成绩均不合格的有3人,则这两项成绩均合格的人数是A. B. C. D.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在
3、答题卡上. 9已知等差数列前n项和为.若,则=_, .开始是否输出结束10圆C:的圆心到直线的距离是 11执行如图所示的程序框图,则输出的结果为_.12在中,已知,则 . 13设D为不等式组表示的平面区域,对于区域D内除原点外的任一点,则的最大值是_,的取值范围是_.14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手,甲说:“乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”;丙说: “丁获奖”;丁说:“丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话,则获奖的歌手是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分) 已知
4、函数.()求的最小正周期;()求在区间上的最大值和最小值.16. (本小题满分13分)已知等比数列的各项均为正数,且,()求数列的通项公式;()若数列满足,且是等差数列,求数列的前项和.17. (本小题满分13分)甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间,他们参加的5次测试成绩记录如下:甲: 82 82 79 95 87乙: 95 75 80 90 85()用茎叶图表示这两组数据;()从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙的成绩高的概率;()现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位同学参加合适?并说明理由FADCBE18. (本
5、小题满分14分)如图,四边形是边长为的正方形,平面平面,, ()求证:平面;()求证:平面;()求三棱锥的体积19. (本小题满分13分) 在平面直角坐标系中,动点与两定点,连线的斜率乘积为,记点的轨迹为曲线.()求曲线的方程;()若曲线上的两点满足,,求证:的面积为定值.20. (本小题满分14分) 设函数.()当时,求曲线在点处的切线方程;()若函数有两个零点,试求的取值范围;(III)设函数当时,证明.北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试 数学答案(文史类) 2017.1 一、选择题:(满分40分)题号12345678答案C DDBADCB二、填空题:(满分30分
6、)题号91011121314答案,甲(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)三、解答题:(满分80分)15. (本小题满分13分)解: 解:()因为 .所以的最小正周期为. 7分()因为 当时,取得最大值; 当取得最小值. 13分16. (本小题满分13分)解:()解:设等比数列的公比为,依题意 因为 两式相除得 :, 解得 , (舍去) 所以 所以数列的通项公式为 6分 ()解:由已知可得, 因为为等差数列, 所以数列是首项为,公差为的等差数列 所以 . 则.因此数列的前项和:. 13分17. (本小题满分13分)解:()作出茎叶图如下;4分()记甲被抽到的成绩为,乙被抽到成绩为,用数对表
7、示基本事件:基本事件总数设“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件:事件A包含的基本事件数所以,9分()派甲参赛比较合适,理由如下: , 因为 , 所以,甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适13分 18. (本小题满分14分)证明:()因为平面平面,平面平面,且,所以平面.因为平面,所以又因为四边形为正方形,所以 因为,所以平面4分FADCBEOG()设,因为四边形为正方形,所以为中点设为的中点,连结,则,且由已知,且,则且所以四边形为平行四边形.所以,即因为平面,平面,所以平面9分()由()可知平面,因为,所以平面,所以又因为四边形为正方形,所以,所以平面由()可知,平面,所以,点到平面
8、的距离等于点到平面的距离,所以 因为所以故三棱锥的体积为14分 19. (本小题满分13分)解:()设,则,整理得. 5分()依题直线的斜率乘积为.当直线的斜率不存在时,直线的斜率为,设直线的方程是,由得,.取,则.所以的面积为.当直线的斜率存在时,设方程为.由得,.因为,在椭圆上,所以,解得.设,则,;所以.设点到直线的距离为,则.所以的面积为.因为,,直线,的斜率乘积为,所以.所以由,得.由,得. 13分20. (本小题满分14分)解:()当时,函数, 因为,所以.又则所求的切线方程为.化简得:.3分 ()因为当时,函数只有一个零点;当,函数当时,;函数当时,.所以在上单调递减,在上单调递
9、增.又,因为,所以,所以,所以取,显然且所以,.由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点.当时,由,得,或.若,则.故当时,所以函数在在单调递增,所以函数在至多有一个零点.又当时,所以函数在上没有零点.所以函数不存在两个零点.若,则.当时,所以函数在上单调递增,所以函数在至多有一个零点.当时,;当时,;所以函数在上单增,上单调递减,所以函数在上的最大值为,所以函数在上没有零点.所以不存在两个零点.综上,的取值范围是 9分 (III)证明:当时,.设,其定义域为,则证明即可.因为,所以,.又因为,所以函数在上单调递增.所以有唯一的实根,且.当时,;当时,.所以函数的最小值为.所以.所以. 14分 10