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1、离散数学说课稿数学教研室 雷志金2010 年 6 月一、教材分析1. 课程性质现代数学可分为两大类，一类是研究连续现象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散现象的离散数学.离散数学是现代数学的一个新分支，并随着信息技术的进步得到了蓬勃的发展。在信息的处理技术、计算机软硬件的设计等领域都有着广泛应用。离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机类专业的重要课程。它以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此离散数学可以充分描述计算机学科离散性的特点。由于离散数学在计算机科学中的重要作用，国内外几乎所有大学的计算机类专业的教学计划中都将其列为核心课程进行重点
2、建设，它是其他骨干课程，如数据结构、操作系统、人工智能、计算机网络、软件工程、编译原理等的先修课程，国内许多大学将其作为计算机专业类研究生入学考试的内容。随着现代信息技术的发展，计算机学科的发展也非常迅速，离散数学作为计算机科学与技术专业的专业基础课程也随之不断发展变化。该课程是于 1977 年被 IEEE 确定为计算机专业核心主干课程，2001 年又被 IEEE 和 ACM 确定为计算机专业第一核心主干课程。随着 CC2001 和 CCC2002、CCC2004 教程的问世，教学课程体系逐步走向成熟，离散数学的教学内容被进一步更新，其内容框架也越来越趋于成熟，基本上核心内容主要包含四大分支：
3、数理逻辑、集合论、近世代数、图论。2. 教材建设(1)教材：大连理工大学出版社 2008 年出版的“高职高专计算机基础教育系列规划教材” 离散数学 （主编：王宗传 ） 。(2)教材优点：基本能体现以应用为目的，以“必需，够用 ”为度的要求，减少理论推导，注重学生基本运算能力和分析能力的培养，基本符合我院学生实际。(3)教材不足：在理实结合，工学结合方面略显不够，理论推导还可进一步淡化，关联专业方面的实例较少。3. 课程重点、难点分析一、数理逻辑数理逻辑是用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科，也叫做符号逻辑。它的本质是研究如何通过利用纯粹的公理系统和符号演算以及推理方法来代替人们思维中的逻
4、辑推理过程，并由此将整个的数学建立在这样一个逻辑基础之上。由于历史上诸多数学家的努力和推动，尤其是莱布尼茨、布尔、希尔伯特、罗素、图灵、哥德尔等人的工作，部分地实现了数学家们的这一形式化数学的梦想，但同时，也由于哥德尔的工作，揭示了数学基础本身存在的巨大困难。如何解决这些问题和困难，仍然是今天的数理逻辑学家面临的重大挑战。数理逻辑基础包括两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“ 命题演算” 和“ 谓词演算”。命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、
5、减、乘、除” 那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对计算机科学的发展起了推动作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。在本课程“数理逻辑”部分的教学过程中，在强调重点的基础上，将具体讨论命题，逻辑联结词，命题公式、真值函数
6、；重言式，矛盾式，命题公式、真值函数；命题公式的推理理论；对偶与范式；谓词，与命题的关系；谓词合式公式，客体变元的约束；谓词合式公式的等价与蕴涵；谓词演算的推理理论；前束范式与斯柯伦范式；形式化进一步讲论；可靠性和完备性等方面的问题。二、集合论集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的。康托对于无穷集元素个数问题进行了卓越的研究，引领数学研究进入了一个全新的领域。他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数，将元素间能建立一一对应的集合称为个数相同（也称作等势） 。并证明了无穷集的势之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。随之建立了关于无限的所谓阿列夫谱系。康托尔的成果影响深
7、远，被称为“ 对无限最深刻的洞察、数学天才的最优秀作品、人类纯智力活动的最高成就之一”。随着时间的推移，康托的朴素集合论受到“罗素悖论”的挑战，为了解决可能存在悖论的问题，集合论进一步发展，形成了公理集合论，它是对朴素集合论的严格处理和进一步发展。这个过程看来永远不会终结。在本课程“集合论”部分的教学过程中，主要会涉及到集合、关系等的基本概念、运算、性质和分类。 具体包括：集合基本概念和并、交、 补、差运算；对称差运算和幂集，笛卡尔积；关系及其表示法、关系的运算和性质，闭包运算；等价关系与集合的分类，分类的加细，集合的覆盖与分划，等价类与商集等等；序关系与哈斯图 ；偏序关系与全序关系、置换、单
8、射、满射和双射等等；可数集与不可数集，基数与连续统猜想等等。 三、近世代数近世代数中最基础的部分是群论，这一重要的现代数学思想有多个起源：1）来源于数论（主要源于欧拉和高斯等人关于同余类以及二次型的分类等有重要意义的工作）2）来源于几何学（主要来源于多种几何学的分类、特征描述，特别是克莱因著名的爱尔朗根纲领）3）来源于方程论（求高于四次的方程的根式解是诱导群论的一个直接和重要的原因，在这方面，拉格朗日作了先驱性的总结工作，提出了他的猜想，而两位英年早逝的天才数学家阿贝尔和伽罗华则先后给出了这个问题的部分以及完整的解答，并由此产生了群论以及近世代数这一现代数学分支）本课程中近世代数这一部分主要涉
9、及到的内容包括群、环、域、格、布尔代数等。在群的初步理论中，首先将介绍群、子群、 群同构的概念及有关性质，接着讨论几类最常见的群。然后对群论中某些重要的概念作专题讨论。首先定义并讨论群的子集的运算，随后引出并讨论子群陪集的概念与性质以及著名的拉格朗日定理及其应用；接下来定义并讨论正规子群与商群的概念与性质，并由此证明群同态基本定理，从而对群的同态象做出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容。最后介绍群的理论在研究阶较小的有限群时的某些应用。在本课程“近世代数”的后半部分，进行的是环、域等方面的一个初步的介绍和讨论。具体包括环和域、同态与同构等基本概念。近世代数这部分理论内容相当丰富，有巨
10、大的课外学习空间，我们将在数学选修课以及不定期举行的讲座中向学生介绍其中的部分内容以及它们的应用。四、图论“图论” 是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。图论本身是应用数学的一部份，它起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。欧拉在 1736 年解决了这个问题，他用抽象分析法将这个问题化为第一个图论问题（得到一个“图” ） 。欧拉证明了柯尼斯堡七桥问题是无解的，并推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。这使得欧拉成为图论及
11、拓扑学的创始人。 类似的，图论的历史上还有许多著名、有趣、寓意深刻的问题，如哈密顿问题、四色猜想等等。运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以转化成为图论问题，而后者对图的着色理论、图的计数理论、平面图理论、代数拓扑图论等诸多分支的发展也起到了巨大的推动作用。图论的广泛应用，促进了它自身的发展。20 世纪 40-60 年代，拟阵理论、超图理论、极图理论，以及代数图论、拓扑图论等都有很大的发展。在本课程的“图论”部分，除了讲授欧拉图、哈密顿图及其应用外，还涉及到图的基本概念与矩阵表示；连通性；树的生成树，构造与计数；根树及其应用；平面图与对偶图等方面的内容。离散数学自身研究方面的进展随着计
12、算机的发展而深入，特别在研究智能推理的非经典逻辑方面，在代数结构的深入探讨方面，在图论与群论相互结合的理论方面都有大量的新成果出现。随着计算机科学的发展，离散数学在上述各方面的研究将更加深入，且更具吸引力。新的，具有创造性的研究成果将会层出不穷，其研究无论是理论方向还是应用方向，其前景都是无限宽广且光明的。本课程是计算机科学和数学等各专业的专业基础课，为高级语言程序设计、数据结构和计算机组成原理等课程教学的顺利完成奠定了坚实基础。二、教学目标1. 知识目标任教学生是软件专业的。本专业培养具有大学专科文化程度，以计算机软件开发技术为根本，让学生具备扎实的基础理论知识2. 能力目标培养学生的抽象思
13、维和严格推理的能力，使学生掌握信息技术领域中的一些基本数学工具和方法。通过定期的企业项目实训，让学员掌握企业项目的实际开发模式和方法，从而具备较为丰富的项目经验和较强动手能力3. 情感目标养成规范的软件开发习惯和团队协作精神的高素质技能型人才，以适应社会信息化需求。三、教学内容本课程共分 章/或单元/或模块，安排 学时，其中理论学时 ，实践学时。每章/或单元/或模块教学的内容以及要达到的教学效果（知识内容和要求、技能内容和要求） 。大纲要求，主要知点，课时分配专业培养目标要：学生应具有的基础知识、基本理论和基本运算技能。各教学章节学时分配如下表所示：四、教学设计第一章第一章 命题逻辑命题逻辑
14、本章是数理逻辑中的最基本内容，是下一章的基础.本章主要讲述命题与联结词、命题公式、恒真命题、等价式、蕴涵式及范式等基本内容；能将自然语言符号化；能用等价式、蕴涵式等进行命题演算和推理；能用逻辑推理的方法解决一些实际问题. 第一节第一节 命题与逻辑联结词命题与逻辑联结词 本节的主要内容有:1.给出了命题的概念,即命题是能判断真假的陈述句；2.命题的判断结果称为命题的真值；3. 一个命题若不能再分割成更小的命题,则该命题称为原子命题,否则称为复合命题.第二节第二节 命题公式与解释命题公式与解释 本节主要内容有:1.用递归的方法定义了命题公式；2.给出了命题的解释或赋值的概念；3.定义了公式的真值表
15、；4.给出了恒真、恒假及可满足公式的定义.第三节 公式的等值演算1.给出了两个命题公式等值的概念；2.24个基本的等值式;3.给出了命题逻辑的两个简单的实际应用.第四节 联结词全功能集与对偶原理1. 介绍了 3 个逻辑联结词,即异或、与非、或非；2. 真值函数；3. 逻辑联结词的全功能集与极小全功能集、常用的、也是最基本的有 3 个,即非、析取、合取等；4. 对偶式、对偶原理.第五节第五节 命题公式的范式命题公式的范式 范式指的是命题公式规范的表示形式,有两种范式,即析取范式与合取范式, 概念和结论有:章节内容 学 时第一章 命题逻辑 8第二章 谓词逻辑 6第三章 集合 2第四章 二元关系和函
16、数 12合 计（含复习 2 节） 301.简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式、极大项、极小项的定义;2.任一公式必有与之等价的合取范式和析取范式;3.任意公式都存在惟一的与之等价的主析取范式;4.析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式的求法及范式的简单应用第六节第六节 命题逻辑中的推理命题逻辑中的推理 本节给出了形式演绎的三个规则及举例说明这三个规则的灵活应用; 规则P：在演绎过程中可以随便使用前题集合中任一公式; 规则T：在演绎过程中可以随便使用前面演绎出来的某些公式的逻辑结果; 规则CP：如果需要演绎出的公式具有PQ的形式，则可以将P做为附加前题使用，设法演绎出Q来. 证明的三种方法，即真值表法，直接证法和间接证法. 本章小结本章小结本章首先引入命题及逻辑联结词，并在此基础上定义了公式以及公式的等价、蕴涵、范式等，然后用等价式、蕴涵式等进行命题演算和推理.本章将初步体现数理逻辑的基本观点和方法，为将来从事
