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1、江西省重点中学协作体2018届高三第二次联考数学(理)试卷满分:150 时间:120分钟 命题人：九江一中 黄俊华 邹平继 临川一中 ：艾菊梅第I卷一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 若（为虚数单位），则复数（ B ）A. B. C. D. 2设集合， ， ，则中的元素个数为（ C ）A. B. C. D. 3已知命题直线过不同两点、,命题直线的方程为 ，则命题是命题的（ C ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道
2、题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分只鹿，则公士所得鹿数为 （ C ）A.只 B. 只 C. 只 D. 只5函数的减区间为（ D ）A. B. C. D. 6已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）A. B. C. D. 7.如图所示的程序框图,则满足的输出有序实数对的概率为（ D ）A B. C. D. 8已知关于的方程在区间上有44
3、244424主视图左视图俯视图两个根，且，则实数的取值范围是（ B ）A. B. C. D. 9. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都 是直角梯形，左视图是正方形， 则该几何体最长的棱长 为 （ D ）A. B. B. D. 10已知一袋中有标有号码、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（ B ）A B C D11 已知向量、为平面向量，且使得与所成夹角为.则的最大值为（ A ）A. B. C. D. 12.已知函数 （），对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，则实数的取值范围(其中为自然对数的底数)为
4、 （ C ）A. B. C. D. 第II卷二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分13.多项式的展开式中常数项是 -672 14. 若实数满足，则的最小值为 -3 15 设是过抛物线焦点的弦，其垂直平分线交轴于点，设，则的值是16.在中，点、在边上，满足.若，则的面积为三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17. （本小题满分12分）已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.解：（1）由得， ，因为成等比数列，所以，即，整理得，即，因为，所以， 所以.（2）由（1）可得，所以，所以，
5、所以.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，.（1）求证：平面平面；（2）若，试判断棱上是否存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）因为四边形是平行四边形， ，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，分别以所在直线为轴、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则 由，可得，所以假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，则，设平面的法向量为，则,即，令，可得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则 ，解得或者（舍）.所以存
6、在，使得直线与平面所成角的正弦值为.19. （本小题满分12分）为创建文明城市，我市从年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作.为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.组别频数（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布， 近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下,市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励:（）得
7、分不低于的可以获得2次抽奖机会，得分低于的可以获得1次抽奖机会；（）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）概率现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和,求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式，若，则；.解：（1）：.故， ，.综上， .（2）易知获奖券面值的可能取值为，.；.的分布列为： .20.（本小题满分12分）已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足.（1） 求椭圆的方程；（2） 设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1），所以从而的方程为.（2）
8、当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得所以， 因为为定值，所以解得.此时定值为.当为轴时，.综上，存在使得为定值21. （本小题满分12分）已知，.（1） 证明： ；（2） 若时，恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）设则，故在上单调递减，在上单调递增.从而.而当时，.（2）设，则，.要求在上恒成立必须有.即.以下证明：当时.只要证，只要证在上恒成立.令，则对恒成立，又，所以.从而不等式得证.选做题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果全做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号）22. （本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.（1）求曲线、的直角坐标方程.（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.解：（1），.（2）设，则到的距离，.由、间距离的最小值为知当时，得；当时，得.综上：或者.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.()若不等式对恒成立，求实数的取值范围；()当时，函数的最小值为,求实数的值.解：() 可化为 解得： 或 实数的取值范围为（）函数的零点为和，当时知所以由图像可知在单调递减，在单调递增，解得： 8
