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1、2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中考试数学试题(文科)时间:120分钟 总分:150分 命题人、审题人:陈勍 李林刚 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合 , 则 ( ). 2( ). 3要得到函数 的图像,只需将函数 的图像( ).向左平移 个单位 向右平移 个单位向左平移 个单位 向右平移 个单位4已知向量a(1,1),b(2,x),若ab1,则x等于().A1 B C. D15已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为( ). 6. 观察下列事实的不同整数解的个数为4 , 的不同整数解的个数
2、为8,的不同整数解的个数为12 .则的不同整数解的个数为( ) 7已知变量满足约束条件则的最小值为( )A B C D8某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )A B C D 9设 若则下列关系式中正确的是( ) 10执行如图2所示的程序框图,若输入的值为6,则输出的值为 ( ) A B C D 11袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) 12设正实数 满足则当取得最小值时, 的最大值为() 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.)13.函数 的最大值为_. 14
3、. 在 中, 则 _.15.偶函数 的图像关于直线 对称, 则_. 16.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是球的直径.若平面平面,三棱锥的体积为9,则球的表面积为_.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分)(一)必考题(共5小题,每小题12分,共60分)17.(本小题满分12分)设数列满足:,().(1)求的通项公式及前项和;(2)已知是等差数列,为其前项和,且,求.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中, 面, , , 是的中点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.19.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40中学生,将他们的期中
4、考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段: , , 所得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数的值;(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.20.(本小题满分12分)已知椭圆()的离心率,椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)直线的斜率为,直线与椭圆交于两点,已知,求面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数错误!未找到引用源。(1)讨论错误!未找到引用源。的单调性;(2)当错误!未找到引用源。有最大值
5、,且最大值大于错误!未找到引用源。时,求错误!未找到引用源。的取值范围.(二)选考题(共10分.请考生在第22-23两题中任选一道作答,如果多选,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号)22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1) 若极坐标为的点在曲线上,求曲线与曲线的交点坐标;(2)若点的坐标为,且曲线与曲线交于两点,求.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知,函数的最小值为4.(1)求的值; (2)求的最小值.长安一中2017-2018学年度第二学期期中考试高
6、二年级 数学参考答案(文科)一、选择题: 1-5.CBDDA 6-10. BACDC 11-12. BD二、填空题:13 14. 1 15. 3 16. 三、解答题: 17.(12分)解:(1)由题知:,所以数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,因此,前n项和.(2) 是等差数列,由题知:而解得:所以:.18. (12分)解:(1)证明:如图,取PB中点M,连结AM,MN,因为MN是的中位线,所以,且,由题意得,且,则有:且,所以四边形AMND是平行四边形,因此,所以平面PAB. (2)N是PC的中点,N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半,且PA面ABCD,PA=4,三棱锥NA
7、CD的高是2.在等腰ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC边上的高为. BCAD,C到AD的距离为,SADC=.三棱锥NACD的体积是.19.(12分)解:(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03 (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85=544人 (3)成绩在40,50)分数段内的人数为400.05=2人,分别记为A,B,成绩在90
8、,100分数段内的人数为400.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种,如果两名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在40,50)分数段内,另一个成绩在90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记
9、“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)= .20.(12分)(1),椭圆过点(2),代入椭圆方程中整理得,则P点到直线l 的距离,当且仅当,即时取得最大值2.21.(12分)解:(1)的定义域为,若,则,所以在单调递增,若,则当时,;当时,.所以在单调递增,在单调递减.(2)由(1)知,当时,在无最大值;当时,在取得最大值,因此等价于,令,则在单调递增,于是,当时,;当时,因此的取值范围是22.( 10分) 解:点对应的直角坐标为,由曲线的参数方程知:曲线是过点的直线,故曲线的方程为.而曲线的直角坐标方程为,联立得解得:故交点坐标分别为. (5分)(2)由判断知:在直线上,将代入方程得:,设点对应的参数分别为,则,而,所以. (10分) 23. ( 10分) 解: (1)因为当且仅当时,等号成立.又,所以,所以的最小值为.又已知的最小值为4,所以. (5分)(2) 由(1)知,由柯西不等式得,所以.当且仅当,即,时等号成立.所以的最小值为. (10分)7