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1、黔东南州2018届高三模拟考试理科数学试卷I卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合,则、 、 、 、答案为.2若复数,则=、 、 、 、选.3甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图,甲乙两组数据的平均数分别为、,标准差分别为、,则、 、 、选.4已知数列为等差数列,且,则的值为、 、 、 、故选.5已知,则的大小关系为、 、 、 、选.6一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为、 、 、 、选.7已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最大边长为、 、 、 、解析
2、:根据三视图作出原几何体(四棱锥)的直观图如下:可计算,故该几何体的最大边长为.8若函数的定义域为,其导函数为若恒成立,则解集为 、 、 、 、选.9执行如图的程序框图,则输出的值为、 、 、选10在中,内角所对的边分别为,已知,且,则面积的最大值为、 、 、 、选.11设函数的最大值为,最小值为,则的值为、 、 、 、选.12 已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使,则该双曲线的离心率的取值范围是、 、 、 、解析:由题意可设在右支非轴上,由正弦定理有,为方便运算,设,则,又, 解得,又,则不共线,则,即,整理得,两边同时除以得,解得,又,则,故,故选.另,观察可知,于是,整理的,后
3、面解法同上.卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上13已知实数满足约束条件,则的最小值是 解析:约束条件表示的平面区域为封闭的三角形,求出三角形的三个顶点坐标分别为、,带入所得值分别为、,故的最小值是.另,作出可行域如下:由得,当直线经过点时,截距取得最大值,此时取得最小值,为.14甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试,考试成绩采用等级制(分为三个层次),得的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知,三名同学中只有一人获得.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下:甲说:看丙的状态,他只能得或;乙说:我肯定得;丙说:今天我的确没有
4、发挥好,我赞同甲的预测事实证明:在这三名同学中,只有一人的预测不准确,那么得的同学是 解析:若得的同学是甲,则甲、丙预测都准确,乙预测不准确,符合题意;若得的同学是乙,则甲、乙、丙预测都准确,不符合题意;若得的同学是丙,则甲、乙、丙预测都不准确,不符合题意。综上,得的同学是甲.15在的展开式中,的系数为_(用数字作答)解析:展开式中含有的项有:五项,的系数为.另,.16在平面上,若,则的取值范围是 解析:分别以、为、轴建立直角坐标系,设,由得.设,由得,两式相加得,即,于是,又,故,即的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第17-21题为必考
5、题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且满足()求数列的通项公式;()令,记数列的前项和为证明:解:(I)当时,有,解得.当时,有,则 整理得: 数列是以为公比,以为首项的等比数列 即数列的通项公式为: 6分(II)由(I)有,则 易知数列为递增数列 ,即. 12分18(本小题满分12分)据统计,2017年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客590.23万人次,实现旅游收入48.67亿元,同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于40(单位:百万元
6、),则称为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:分组频数1849245()求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?()若导游的奖金(单位:万元),与其一年内旅游总收入(单位:百万元)之间的关系为,求甲公司导游的年平均奖金;()从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中,随机的抽取人进行表彰,设来自乙公司的人数为,求的分布列及数学期望.解:(I)由直方图知:,有,由频数分布表知:,有 甲公司的导游优秀率为:;乙公司的导游优秀率为:;由于,所以
7、甲公司的影响度高 4分(II)甲公司年旅游总收入的人数为人;年旅游总收入的人数为人;年旅游总收入的人数为人;故甲公司导游的年平均奖金(万元) 8分(III)由已知得,年旅游总收入在的人数为15人,其中甲公司10人,乙公司5人故的可能取值为,易知:;. 的分布列为: 的数学期望为: 12分19(本小题满分12分)在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面,点、分别为、中点.()求证:平面;()若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.(I)证明:取中点,连接在中,有 分别为、中点 在矩形中,为中点 四边形是平行四边形 而平面,平面 平面 6分(II)取中点,连接,设. 四边形是矩形 平面平面,平面平面=,平
8、面 平面 又 ,为中点 ,.故可建立空间直角坐标系,如图所示,则, , ,设是平面的一个法向量,则 ,即不妨设,则易知向量为平面的一个法向量 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分20(本小题满分12分)已知点为曲线上任意一点,、,直线的斜率之积为()求曲线的轨迹方程;()是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由解:(I)设点,则整理得:故曲线的轨迹方程为:. 5分(II)假设存在直线满足题意显然当直线斜率不存在时,直线与椭圆不相交当直线的斜率时,设直线为: 联立,化简得:由,解得设点,则 取的中点,则,则即 ,化简得,无实数解,故舍去当
9、时,为椭圆的左右顶点,显然满足,此时直线的方程为综上可知,存在直线满足题意,此时直线的方程为12分21(本小题满分12分)已知函数,(是常数)()求函数的单调区间;()当时,函数有零点,求的取值范围解:(I)由题意知:,则,当时,令,有;令,有故函数在上单调递增,在上单调递减当时,令,有;令,有故函数在上单调递增,在和上单调递减当时,令,有或;令,有故函数在和上单调递增,在上单调递减综上所述,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为和;当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为; 5分(II)当时,由可得,有,故满足题意当时,若,即时,由(I)知
10、函数在上递增,在上递减而,令,有 若,即时,由(I)知函数在上递增而,令,解得,而,故当时,由(I)知函数在上递增,由,令,解得,而,故综上所述,的取值范围是: 12分另,题目可转化为函数与函数的图像有交点.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,按所做的第一题记分.22(本小题满分10分)选修44:极坐标与参数方程在平面直角坐标系中,将曲线(为参数) 上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线()求曲线和直线的普通方程;()点为曲线上的任意一点,求点到直线的距离的最大值及取得最大值时点的坐标解:(I)由已知有(为参数),消去得将代入直线的方程得 曲线的方程为,直线的普通方程为. 5分(II)由(I)可设点为,则点到直线的距离为:故当,即时取最大值此时点的坐标为 10分23(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数,()当时,求不等式的解集;()设,且当时,都有,求的取值范围解:(I)当时,故不等式可化为: 或或解得: 所求解集为:. 5分(II)当时,由有: 不等式可变形为:故对恒成立,即,解得而,故. 的取值范围是: 10分13