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1、黔东南州2018届高三模拟考试理科数学试卷I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则、 、 、 、答案为.2若复数，则=、 、 、 、选.3甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，则、 、 、选.4已知数列为等差数列，且，则的值为、 、 、 、故选.5已知，则的大小关系为、 、 、 、选.6一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为、 、 、 、选.7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为、 、 、 、解析
2、：根据三视图作出原几何体（四棱锥）的直观图如下：可计算，故该几何体的最大边长为.8若函数的定义域为，其导函数为若恒成立，则解集为 、 、 、 、选.9执行如图的程序框图，则输出的值为、 、 、选10在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为、 、 、 、选.11设函数的最大值为,最小值为,则的值为、 、 、 、选.12 已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是、 、 、 、解析：由题意可设在右支非轴上，由正弦定理有，为方便运算，设，则，又， 解得，又，则不共线，则，即，整理得，两边同时除以得，解得，又，则，故，故选.另，观察可知，于是，整理的，后
3、面解法同上.卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13已知实数满足约束条件，则的最小值是 解析：约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、，带入所得值分别为、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.14甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知，三名同学中只有一人获得.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；乙说：我肯定得；丙说：今天我的确没有
4、发挥好，我赞同甲的预测事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是 解析：若得的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。综上，得的同学是甲.15在的展开式中，的系数为_(用数字作答)解析：展开式中含有的项有：五项，的系数为.另，.16在平面上，若，则的取值范围是 解析：分别以、为、轴建立直角坐标系，设，由得.设，由得，两式相加得，即，于是，又，故，即的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考
5、题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足（）求数列的通项公式；（）令，记数列的前项和为证明：解：（I）当时，有，解得.当时，有，则 整理得： 数列是以为公比，以为首项的等比数列 即数列的通项公式为： 6分（II）由（I）有，则 易知数列为递增数列 ，即. 12分18（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元
6、），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数1849245（）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（）若导游的奖金（单位：万元），与其一年内旅游总收入（单位：百万元）之间的关系为，求甲公司导游的年平均奖金；（）从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中，随机的抽取人进行表彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望.解：（I）由直方图知：，有，由频数分布表知：，有 甲公司的导游优秀率为：；乙公司的导游优秀率为：；由于，所以
7、甲公司的影响度高 4分（II）甲公司年旅游总收入的人数为人；年旅游总收入的人数为人；年旅游总收入的人数为人；故甲公司导游的年平均奖金（万元） 8分（III）由已知得，年旅游总收入在的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人故的可能取值为，易知：；. 的分布列为： 的数学期望为： 12分19（本小题满分12分）在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.（）求证：平面；（）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（I）证明：取中点，连接在中，有 分别为、中点 在矩形中，为中点 四边形是平行四边形 而平面，平面 平面 6分（II）取中点，连接，设. 四边形是矩形 平面平面,平面平面=，平
8、面 平面 又 ，为中点 ，.故可建立空间直角坐标系，如图所示，则， ， ，设是平面的一个法向量，则 ，即不妨设，则易知向量为平面的一个法向量 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分20（本小题满分12分）已知点为曲线上任意一点，、，直线的斜率之积为（）求曲线的轨迹方程；（）是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解：（I）设点，则整理得：故曲线的轨迹方程为：. 5分（II）假设存在直线满足题意显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交当直线的斜率时，设直线为： 联立，化简得：由，解得设点，则 取的中点，则，则即 ，化简得，无实数解，故舍去当
9、时，为椭圆的左右顶点，显然满足，此时直线的方程为综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为12分21（本小题满分12分）已知函数，(是常数)（）求函数的单调区间；（）当时,函数有零点，求的取值范围解：（I）由题意知：，则，当时，令，有；令，有故函数在上单调递增，在上单调递减当时，令，有；令，有故函数在上单调递增，在和上单调递减当时，令，有或；令，有故函数在和上单调递增，在上单调递减综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 5分（II）当时，由可得，有，故满足题意当时，若，即时，由（I）知
10、函数在上递增，在上递减而，令，有 若，即时，由（I）知函数在上递增而，令，解得，而，故当时，由（I）知函数在上递增，由，令，解得，而，故综上所述，的取值范围是： 12分另，题目可转化为函数与函数的图像有交点.（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.22（本小题满分10分）选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线(为参数) 上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线（）求曲线和直线的普通方程；（）点为曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值及取得最大值时点的坐标解：（I）由已知有（为参数），消去得将代入直线的方程得 曲线的方程为，直线的普通方程为. 5分（II）由（I）可设点为，则点到直线的距离为：故当，即时取最大值此时点的坐标为 10分23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数,（）当时,求不等式的解集；（）设,且当时，都有,求的取值范围解：（I）当时，故不等式可化为： 或或解得： 所求解集为：. 5分（II）当时，由有： 不等式可变形为：故对恒成立，即，解得而，故. 的取值范围是： 10分13
