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1、书书书湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试数学( 理科) 参考答案第卷一、 选择题题号 答案二、 填空题 槡 狓()狔() ,) 三、 解答题 【 解析】 ()犪狀 是等差数列, 其中犪 ,犪 ,由犪犪犱, 得 犱, 解得犱,犪狀犪(狀)犱 (狀) 狀(分)?() 由犪狀, 得 狀, 解得狀 ,犪犪犪犪 犪 ,故狀时,犛狀取得最大值(分)? 【 解析】 () 由直方图的性质可得( 狓 ) , 解方程可得狓 直方图中狓的值为 ;(分)?() 月平均用电量的众数是 ,(分)?( ) ,月平均用电量的中位数在 , ) 内,设中位数为犪, 由
2、( ) (犪 ) 可得犪 月平均用电量的中位数为 ;(分)?() 月平均用电量为 , ) 的用户有 ,月平均用电量为 , ) 的用户有 ,月平均用电量为 , ) 的用户有 ,月平均用电量为 , ) 的用户有 ,抽取比例为 ,(分)?月平均用电量在 , ) 的用户中应抽取 户(分)? 【 解析】 () 由题意可知,犃,犜 , 得犜, 解得(分)?湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案犳( ) (),即 犽,犽犣, 又,所以, 故犳(狓) 狓()(分)?() 当狓 ,时,狓, ,故犳(狓) (),犳(狓) (分)? 【 解析】 () 作犘 犗底面犃 犅 犆 犇, 垂足为犗取犃 犅
3、的中点犕, 连结犘犕, 则犃 犅犘犕, 连结犗犕,犗 犇, 则犃 犅平面犘 犗犕,从而犃 犅犗犕, 所 以犘犕犗为 二 面 角犘犃 犅犆的平面角由已知 犘犕犗槡设正方形犃 犅 犆 犇的边长为,因为犘 犃 犅为等边三角形, 则犘犕槡 在 犘 犗犕中,犗犕犘犕 犘犕犗, 从而犘 犗槡 , 且点犗为正方形犃 犅 犆 犇的中心, 所以犗 犇槡 在 犘 犗 犇中,犘 犇犘 犗犗 犇槡, 所以犘犇犃犇因为点犈为犘 犃的中点, 则犇 犈犘 犃(分)?() 连结犈 犉, 则犈 犉瓛犃 犅取犆 犇的中点犖, 则犇犖瓛犃 犅, 所以犈 犉瓛犇犖连结犖犉,犃犖; 则四边形犈 犉犖犇为平行四边形, 从而犖犉瓛犇 犈,
4、 所以犃 犉犖为异面直线犇 犈与犃 犉的夹角因为犘 犃犇和犘 犃 犅都是边长为的正三角形, 则犇 犈犃 犉槡 , 从而犖犉槡 又犃犖犃犇犇犖槡槡 , 在犃 犉犖中, 由余弦定理得 犃 犉犖, 故异面直线犇 犈与犃 犉的夹角的余弦值为(分)? 【 解析】 () 当狓时,狓,犳(狓)狓,又犳(狓) 是奇函数,犳(狓)犳(狓) ,故犳(狓)狓(分)?当狓时,犳(),故犳(狓)狓,狓,狓,狓(分)?()犳( 狓)犳(犪 狓)得犳( 狓)犳(犪 狓)犳(狓) 是奇函数,得犳( 狓)犳(犪 狓)又犳(狓) 是减函数, 所以 狓犪 狓,狓, 恒成立湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案令狋
5、 狓,狓, , 则狋, ,得狋犪 狋对狋, 恒成立(分)?解法一: 令犵(狋)狋犪 狋,狋, ,犵 (狋) 犵() ,犵() ,犵(),犵(),解得犪,解法二:狋犪 狋犪狋狋,狋, 恒成立,犵(狋)狋狋在,槡 单调递减, 在槡, 单调递增,犵(狓) 犵(),犪( 分)?第卷一、 选择题 【 解析】 由题意设犃(狓,狔) ,犅(狓,狔) , (狔,狔) , 如图所示,犃 犉狓,狓,狔槡 设犃 犅的方程为狓狋 狔, 由狔狓,狓狋狔消去狓得狔狋 狔狔狔,狔槡 ,狓,犛犃 犗 犅狔狔槡 , 故选 【 解析】 因为当狓时, 狓 犳(狓) 犳(狓)狓 犳 (狓), 所以狓 犳(狓)在(,) 上单调递减,
6、又函数犳(狓) 为奇函数, 所以函数狓 犳(狓) 为偶函数, 结合犳(), 作出函数狔狓 犳(狓) 与狔 狓的大致图象, 如图所示:由图象知, 函数犵(狓)狓 犳(狓) 狓的零点有个, 故选湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案二、 填空题 【 解析】 原式中令狓, 得犫犫犫犫犪犪犪,故犛犫犫犫犪犪犪犫, 又狓()狓展开式第犽项犜犽()犽犽狓犽, 得犽时,犫 故犛 三、 解答题 【 解析】 () 因为从 人中随机抽取人抽到喜欢游泳的学生的概率为, 所以喜欢游泳的学生人数为 其中女生有 人, 则男生有 人, 列联表补充如下:喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 女生 合计 因为犓 ( )
7、 所以有 的把握认为喜欢游泳与性别有关(分)?() 喜欢游泳的共 人, 按分层抽样抽取人, 则每个个体被抽到的概率均为 ,从而需抽取男生人, 女生人故犡的所有可能取值为,犘(犡) ,犘(犡) ,犘(犡) ,所以犡的分布列为犡犘 犈(犡) ( 分)? 【 解析】 ()犲槡,犮犪槡,犪犫犪,犪犫,椭圆犆截直线狔所得线段的长度为槡 ,椭圆犆过点(槡,) ,犪犫,犪,犫,椭圆犆的方程为狓狔(分)?湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案() 设犃,犅的横坐标为狓,狓,则犃(狓,犽 狓犿) ,犅(狓,犽 狓犿) ,犇狓狓,犽(狓狓)()犿, 联立狓狔狔犽 狓烅烄烆犿, 可得(犽)狓犽 犿
8、 狓犿,狓狓犽 犿犽,狓狓犿犽,(分)?犇犽 犿犽,犿犽(),犕(,犿) , 则犖(,犿) ,犖的半径为犿,犇犖犿犽()犿犽 犿犽()槡 犿犽犽犽槡,(分)?设犈 犇 犉, 犈犖犇犖犗犖犇犖犿犿犽犽犽槡犽犽犽槡犽犽犽犽槡(犽犽)犽犽犽槡犽犽犽槡, 令犽狋(狋) , 则 狋狋槡 ,狋, 所以当狋即犽时, 最小值为,犈 犇 犉的最小值是 ( 分)? 【 解析】 () 由已知犳()狓的定义域为,(), 又犳() 狓狓犪犪 狓狓,当犪时,犳() 狓恒成立;当犪时, 令犳() 狓得狓犪; 令犳() 狓得狓犪综上所述, 当犪时,犳()狓在,()上为增函数;当犪时,犳()狓在,()犪上为增函数, 在犪,()
9、上为减函数(分)?() 由题意犵()狓狓() 狓犪 狓犪 狓(), 则犵() 狓狓狓犪,当犪时,犵() 狓狓狓犪犪,犵()狓在,()上为增函数, 又犵(), 不符合题意(分)?湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案当犪时,犵() 狓狓 ()犪 狓狓,令()狓狓 ()犪 狓, 则 ()犪(犪) (犪)令()狓的两根分别为狓,狓且狓狓,则狓狓犪,狓狓,狓狓,当狓 ,狓()时,()狓,犵() 狓,犵()狓在,狓()上为增函数;当狓狓,狓()时,()狓,犵() 狓,犵()狓在狓,狓()上为减函数;当狓狓,()时,()狓,犵() 狓,犵()狓在狓,()上为增函数犵() ,犵()狓在狓,狓()上只有一个零点, 且犵 狓( ),犵 狓( )(分)?犵犪() 犪() 犪() 犪犪() 犪犪()犪犪() ,犵(犪) 犵(狓),犵()狓在狓,()上必有一个零点犪, 当狓 ,狓(时,犵()狓,犪狓犵()狓在,()上必有一个零点综上所述,犪的取值范围为,()( 分)?