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1、书书书湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试数学（ 理科） 参考答案第卷一、 选择题题号 答案二、 填空题 槡 狓（）狔（） ，） 三、 解答题 【 解析】 （）犪狀 是等差数列， 其中犪 ，犪 ，由犪犪犱， 得 犱， 解得犱，犪狀犪（狀）犱 （狀） 狀（分）?（） 由犪狀， 得 狀， 解得狀 ，犪犪犪犪 犪 ，故狀时，犛狀取得最大值（分）? 【 解析】 （） 由直方图的性质可得（ 狓 ） ， 解方程可得狓 直方图中狓的值为 ；（分）?（） 月平均用电量的众数是 ，（分）?（ ） ，月平均用电量的中位数在 ， ） 内，设中位数为犪， 由
2、（ ） （犪 ） 可得犪 月平均用电量的中位数为 ；（分）?（） 月平均用电量为 ， ） 的用户有 ，月平均用电量为 ， ） 的用户有 ，月平均用电量为 ， ） 的用户有 ，月平均用电量为 ， ） 的用户有 ，抽取比例为 ，（分）?月平均用电量在 ， ） 的用户中应抽取 户（分）? 【 解析】 （） 由题意可知，犃，犜 ， 得犜， 解得（分）?湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案犳（ ） （），即 犽，犽犣， 又，所以， 故犳（狓） 狓（）（分）?（） 当狓 ，时，狓， ，故犳（狓） （），犳（狓） （分）? 【 解析】 （） 作犘 犗底面犃 犅 犆 犇， 垂足为犗取犃 犅
3、的中点犕， 连结犘犕， 则犃 犅犘犕， 连结犗犕，犗 犇， 则犃 犅平面犘 犗犕，从而犃 犅犗犕， 所 以犘犕犗为 二 面 角犘犃 犅犆的平面角由已知 犘犕犗槡设正方形犃 犅 犆 犇的边长为，因为犘 犃 犅为等边三角形， 则犘犕槡 在 犘 犗犕中，犗犕犘犕 犘犕犗， 从而犘 犗槡 ， 且点犗为正方形犃 犅 犆 犇的中心， 所以犗 犇槡 在 犘 犗 犇中，犘 犇犘 犗犗 犇槡， 所以犘犇犃犇因为点犈为犘 犃的中点， 则犇 犈犘 犃（分）?（） 连结犈 犉， 则犈 犉瓛犃 犅取犆 犇的中点犖， 则犇犖瓛犃 犅， 所以犈 犉瓛犇犖连结犖犉，犃犖； 则四边形犈 犉犖犇为平行四边形， 从而犖犉瓛犇 犈，
4、 所以犃 犉犖为异面直线犇 犈与犃 犉的夹角因为犘 犃犇和犘 犃 犅都是边长为的正三角形， 则犇 犈犃 犉槡 ， 从而犖犉槡 又犃犖犃犇犇犖槡槡 ， 在犃 犉犖中， 由余弦定理得 犃 犉犖， 故异面直线犇 犈与犃 犉的夹角的余弦值为（分）? 【 解析】 （） 当狓时，狓，犳（狓）狓，又犳（狓） 是奇函数，犳（狓）犳（狓） ，故犳（狓）狓（分）?当狓时，犳（），故犳（狓）狓，狓，狓，狓（分）?（）犳（ 狓）犳（犪 狓）得犳（ 狓）犳（犪 狓）犳（狓） 是奇函数，得犳（ 狓）犳（犪 狓）又犳（狓） 是减函数， 所以 狓犪 狓，狓， 恒成立湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案令狋
5、 狓，狓， ， 则狋， ，得狋犪 狋对狋， 恒成立（分）?解法一： 令犵（狋）狋犪 狋，狋， ，犵 （狋） 犵（） ，犵（） ，犵（），犵（），解得犪，解法二：狋犪 狋犪狋狋，狋， 恒成立，犵（狋）狋狋在，槡 单调递减， 在槡， 单调递增，犵（狓） 犵（），犪（ 分）?第卷一、 选择题 【 解析】 由题意设犃（狓，狔） ，犅（狓，狔） ， （狔，狔） ， 如图所示，犃 犉狓，狓，狔槡 设犃 犅的方程为狓狋 狔， 由狔狓，狓狋狔消去狓得狔狋 狔狔狔，狔槡 ，狓，犛犃 犗 犅狔狔槡 ， 故选 【 解析】 因为当狓时， 狓 犳（狓） 犳（狓）狓 犳 （狓）， 所以狓 犳（狓）在（，） 上单调递减，
6、又函数犳（狓） 为奇函数， 所以函数狓 犳（狓） 为偶函数， 结合犳（）， 作出函数狔狓 犳（狓） 与狔 狓的大致图象， 如图所示：由图象知， 函数犵（狓）狓 犳（狓） 狓的零点有个， 故选湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案二、 填空题 【 解析】 原式中令狓， 得犫犫犫犫犪犪犪，故犛犫犫犫犪犪犪犫， 又狓（）狓展开式第犽项犜犽（）犽犽狓犽， 得犽时，犫 故犛 三、 解答题 【 解析】 （） 因为从 人中随机抽取人抽到喜欢游泳的学生的概率为， 所以喜欢游泳的学生人数为 其中女生有 人， 则男生有 人， 列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 女生 合计 因为犓 （ ）
7、 所以有 的把握认为喜欢游泳与性别有关（分）?（） 喜欢游泳的共 人， 按分层抽样抽取人， 则每个个体被抽到的概率均为 ，从而需抽取男生人， 女生人故犡的所有可能取值为，犘（犡） ，犘（犡） ，犘（犡） ，所以犡的分布列为犡犘 犈（犡） （ 分）? 【 解析】 （）犲槡，犮犪槡，犪犫犪，犪犫，椭圆犆截直线狔所得线段的长度为槡 ，椭圆犆过点（槡，） ，犪犫，犪，犫，椭圆犆的方程为狓狔（分）?湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案（） 设犃，犅的横坐标为狓，狓，则犃（狓，犽 狓犿） ，犅（狓，犽 狓犿） ，犇狓狓，犽（狓狓）（）犿， 联立狓狔狔犽 狓烅烄烆犿， 可得（犽）狓犽 犿
8、 狓犿，狓狓犽 犿犽，狓狓犿犽，（分）?犇犽 犿犽，犿犽（），犕（，犿） ， 则犖（，犿） ，犖的半径为犿，犇犖犿犽（）犿犽 犿犽（）槡 犿犽犽犽槡，（分）?设犈 犇 犉， 犈犖犇犖犗犖犇犖犿犿犽犽犽槡犽犽犽槡犽犽犽犽槡（犽犽）犽犽犽槡犽犽犽槡， 令犽狋（狋） ， 则 狋狋槡 ，狋， 所以当狋即犽时， 最小值为，犈 犇 犉的最小值是 （ 分）? 【 解析】 （） 由已知犳（）狓的定义域为，（）， 又犳（） 狓狓犪犪 狓狓，当犪时，犳（） 狓恒成立；当犪时， 令犳（） 狓得狓犪； 令犳（） 狓得狓犪综上所述， 当犪时，犳（）狓在，（）上为增函数；当犪时，犳（）狓在，（）犪上为增函数， 在犪，（）
9、上为减函数（分）?（） 由题意犵（）狓狓（） 狓犪 狓犪 狓（）， 则犵（） 狓狓狓犪，当犪时，犵（） 狓狓狓犪犪，犵（）狓在，（）上为增函数， 又犵（）， 不符合题意（分）?湖南师大附中 学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案当犪时，犵（） 狓狓 （）犪 狓狓，令（）狓狓 （）犪 狓， 则 （）犪（犪） （犪）令（）狓的两根分别为狓，狓且狓狓，则狓狓犪，狓狓，狓狓，当狓 ，狓（）时，（）狓，犵（） 狓，犵（）狓在，狓（）上为增函数；当狓狓，狓（）时，（）狓，犵（） 狓，犵（）狓在狓，狓（）上为减函数；当狓狓，（）时，（）狓，犵（） 狓，犵（）狓在狓，（）上为增函数犵（） ，犵（）狓在狓，狓（）上只有一个零点， 且犵 狓（ ），犵 狓（ ）（分）?犵犪（） 犪（） 犪（） 犪犪（） 犪犪（）犪犪（） ，犵（犪） 犵（狓），犵（）狓在狓，（）上必有一个零点犪， 当狓 ，狓（时，犵（）狓，犪狓犵（）狓在，（）上必有一个零点综上所述，犪的取值范围为，（）（ 分）?
