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1、长安一中20172018学年度第一学期期末考试高二数学试题(理科) 命题人： 程焕梅 赵玉峰注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4. 考试结束，请将答题卡上交.一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1.设复数满足 ，则= ( ) A BC D22.已知命
2、题“存在x0R，使2x(a1)x00”是假命题，则实数a的取值范围( )A(，1) B(1,3)C(3，) D(3,1) 3. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有()A30辆B 1700辆 C170辆 D300辆 4. 用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上() Ak21 B(k1)2C. D(k21)(k22)(k23)(k1)25. 已知正四面体ABCD的棱
3、长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B. a2 C.a2 D.a2 6. 直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A4 B C2 D7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据
4、的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A2, 5 B5, 5 C5, 8 D8, 8 9. 已知条件p：x22x30；条件q：xa，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是() A1，) B(，1 C(1，) D(，310. 已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为( )A1 B C D211. 已知双曲线C：1(a0，b0)与直线交于其中，若,且,则双曲线C的渐近线方程为（ ）A B C D12. 设函数=，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A-，1） B-，） C，） D，1）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案
5、填写在答题纸的相应横线上.）13. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取_名学生 14做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为_ 15.设函数是奇函数的导函数,，当时，则使得成立的的取值范围是_16在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O、A、B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_三、解答题：（本大题共
6、6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知“直线与圆 相交”； ：“方程有一正根和一负根”.若或为真， 非p为真，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）设函数，若函数在处与直线相切（1）求实数的值； （2）求函数在上的最大值19. （本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，且.（1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）一张坐标纸上涂着圆E：及点P（1，0），
7、折叠此纸片，使P与圆周上某点P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP交于点M（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求ABO的面积的取值范围22. （本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明: 对于任意的成立.长安一中20172018学年度第一学期期末考试高二数学试题(理科)参考答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.题号123456789101112答案CBBDCADCAABD二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案
8、填写在答题纸的相应横线上.） 13. 60 14 3 15. 16三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效）17. （本小题满分10分）解析：对p：直线与圆相交，d1. 1m1.对q：方程mx2xm40有一正根和一负根，令f(x)mx2xm4，或解得0m4.又p为真，p假. 又p或q为真，q为真.由数轴可得1m4. 故m的取值范围是1m4.18.（本小题满分12分）解(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)lnxx2， f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1xe
9、， f(x)在，1)上是增加的，在(1，e上是减少的， f(x)maxf(1). 19. （本小题满分12分）解(1)直线AB的方程是y2(x)，与y22px联立，从而有4x25pxp20.所以x1x2，由抛物线定义得 |AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.(2)由于p4，则4x25pxp20，即x25x40，从而x11，x24，于是y12，y24，从而B(4,4)设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.20. （本小题满分12分）解析：（1）由已知，得ABAP，CDPD
10、.由于ABCD ，故ABPD ，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则，即， .设是平面的法向量，则，即， 可取.则，所以二面角的余弦值为.21.（本小题满分12分）解：（1）折痕为PP的垂直平分线，则|MP|=|MP|，由题意知圆E的半径为2，|ME|+|MP|=|ME|+|MP|=2|EP|，E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，b2=a2c2=1， M的轨迹C的方程为=1（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4
11、kmx+2m22=0，直线l与椭圆交于两个不同点，=16k2m28（1+2k2）（m21）=8k20，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，=，设=k4+k2，则，=，SAOB关于在，2单调递增，AOB的面积的取值范围是，22. （本小题满分12分）（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立 11
