《【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时 抛物线的简单性质基础达标 北师大版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时 抛物线的简单性质基础达标 北师大版选修2-1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1【成才之路】2014-2015 学年高中数学 3.2 第 2 课时 抛物线的简单性质基础达标 北师大版选修 2-1一、选择题1动圆的圆心在抛物线 y28 x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过定点()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，2)答案B解析圆心到直线 x20 的距离等于到抛物线焦点的距离，定点为(2,0)2过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点，若|AF|3，则 AOB 的面积为()A B22 2C D2322 2答案C解析本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用设 AFx (00)的焦点为 F，
2、点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_答案342解析由条件 B( ，1)代入 y22 px 得p412 p ， p22， p ，p4 2 B( ，1)，故 d .24 342三、解答题6已知抛物线 y2 x 与直线 y k(x1)相交于 A， B 两点(1)求证： OA OB.(2)当 OAB 的面积等于 时，求 k 的值10分析(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，利用平面解析几何的知识证 kOAkOB1，从而证得 OA OB.(2)设直线 AB 和 x 轴的交点为 N，利用 S OAB |ON|y1 y2|求 k 的值12解析(
3、1)证明：如图所示，由方程组Error!消去 x 后，整理，得 ky2 y k0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由根与系数的关系，3得 y1y21. A， B 在抛物线 y2 x 上， y x1， y x. y y x1x2.21 2 21 2 kOAkOB 1，y1x1 y2x2 y1y2x1x2 1y1y2 OA OB.(2)设直线 AB 与 x 轴交于点 N，显然 k0.令 y0，则 x1，即 N(1,0) S OAB S OAN S OBN |ON|y1| |ON|y2|12 12 |ON|y1 y2|，12 S OAB 112 y1 y2 2 4y1y2 .12 1k
4、 2 4 S OAB ， .10 1012 1k2 4解得 k .16一、选择题1顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(2,3)的抛物线方程是()A y2 x B x2 y94 43C y2 x 或 x2 y D y2 x 或 x2 y94 43 92 43答案D解析点(2,3)在第二象限，设抛物线方程为 y22 px(p0)或 x22 p y(p0)，又点(2,3)在抛物线上，94 p， p ，46 p， p .94 232设抛物线 y28 x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， PA l， A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 ，那么 |PF|()3A4 B834C8 D16
5、3答案B解析考查抛物线定义设 A(2， y) F(2,0)， KAF ， y4 ， yp4 ，y 4 3 3 3 P 在抛物线上， y 8 xp，2p xp 6.y2p8 1638由抛物线定义可得| PF| PA| xp xA6(2)8，故选 B.3(2014新课标理)已知抛物线 C： y28 x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 4 ，则| QF|()FP FQ A B372C D252答案B解析本题考查抛物线的性质、向量的知识以及三角形的相似设抛物线的焦点坐标是 F(2,0)，过点 Q 作抛物线的准线的垂线垂足是 A，则| QA| Q
6、F|，抛物线的准线与 x轴的交点为 G，因为 4 ，则点 Q 是 PF 的三等分点，由于三角形 QAP 与三角形 FGP 相FP FQ 似，所以可得 ，所以| QA| QF|3.|QA|FG| |PQ |PF | 344设 F 为抛物线 y24 x 的焦点， A、 B、 C 为该抛物线上三点，若 0，则FA FB FC | | | |等于()FA FB FC A9 B6C4 D3答案B解析设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，由题知 F(1,0)， 0，FA FB FC x1 x2 x33，抛物线的准线为 x1，根据抛物线定义得，| | | | x11 x21 x
7、31336.FA FB FC 5若点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆( x3) 2 y21 上，则| PQ|的最小值是()5A2 B11 22C D112 11 22答案D解析如图所示，要求| PQ|min只须以 A 为圆心，以 b 为半径的圆与抛物线相切，则|PQ|的最小值为 b1.把( x3) 2 y2 b(b1)与 y2 x 联立得： x25 x9 b0，254(9 b)0，解得： b .114| PQ|min 1 .114 11 22二、填空题6已知抛物线 C： y22 px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于3A，与 C 的一个交点为 B，若
8、 A M ，则 p_.M B 答案2解析准线 l 为 x ，过点 M(1,0)且斜率为 的直线为 y (x1)联立p2 3 3Error!解得Error!点 A 的坐标为( ， ( 1)p2 3p2又 ， M 点为 AB 的中点，AM MB B 点坐标为( 2， ( 1)p2 3p2将 B( 2， ( 1)代入 y22 px(p0)，p2 3p2得 3( 1) 22 p( 2)，解得 p2 或 p6(舍)p2 p27过抛物线 y22 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，若|AB| ，| AF|0)，焦点 F ， A(x0， y0)， B(x0， y0)，(p2， 0)则Error
9、! x (2 p9) x00. 20 OA BF， kOAkBF1. 1，即 1.y0x0 y0p2 x0 2px0x0(p2 x0) x0 p.52把代入得 p2.所求抛物线方程为 y24 x.9.如图，过抛物线 y22 px(p0)上一定点 P(x0， y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点 F 的距离；p2(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线 AB 的斜率是y1 y2y0非零常数分析根据抛物线定义，可解出第一问，利用解析几何设而不求及两点斜率公式求第二问解析(1)当
10、y 时， x ，p2 p87又抛物线 y22 px 的准线方程为 x ，p2由抛物线定义得，所求距离为 .p8 ( p2) 5p8(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，由 y 2 px1， y 2 px0，相减得21 20(y1 y0)(y1 y0)2 p(x1 x0)，故 kPA (x1 x0)y1 y0x1 x2 2py1 y0同理可得 kPB (x2 x0)2py2 y0由 PA、 PB 倾斜率角互补知 kPA kPB，即 .2py1 y0 2py2 y0 y1 y22 y0，故 2.y1 y2y0设直线 AB 的斜率为 kAB，由 y 2 px2， y 2
11、 px1，2 21相减得( y2 y1)(y2 y1)2 p(x2 x1) kAB (x1 x2)y2 y1x2 x1 2py1 y2将 y1 y22 y0(y00)代入得kAB ，所以 kAB是非零常数2py1 y2 py010(2013福建文，20)如图，抛物线 E： y24 x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，| CO|为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点M， N.(1)若点 C 的纵坐标为 2，求| MN|；(2)若| AF|2| AM|AN|，求圆 C 的半径解析(1)抛物线 y24 x 的准线 l 的方程为 x1
12、.由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为(1,2)，8所以点 C 到准线 l 的距离 d2，又| CO| .5所以| MN|2 2 2.|CO|2 d2 5 4(2)设 C( ， y0)，则圆 C 的方程为( x )2( y y0)2 y ，即y204 y204 y4016 20x2 x y22 y0y0.y202由 x1，得 y22 y0y1 0，y202设 M(1， y1)， N(1， y2)，则Error!由| AF|2| AM|AN|，得| y1y2|4，所以 14，解得 y0 ，此时 0.y202 6所以圆心 C 的坐标为( ， )或( ， )，32 6 32 6从而| CO|2 ，| CO| ，即圆 C 的半径为 .334 332 332
