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1、1【成才之路】2014-2015 学年高中数学 2.4 向量的应用基础巩固 新人教 B 版必修 4一、选择题1 ABC 中， c， a，且 ca|v2|C| v1| v2| D| v1| v2|答案B解析如图， v2， v1，OA OB 3由图知：| | |，又| | |，OB BC BC OA | | |，即| v1|v2|.OB OA 二、填空题7已知平面内三点 A、 B、 C 满足| |3，| |4，| |5，则 AB BC CA AB BC BC CA _.CA AB 答案25解析由题设可知， ABC 为直角三角形，并且 AB BC，所以 0，AB BC | | |cosC45 16，
2、BC CA CB CA CB CA 45 | | |cosA53 9.CA AB AC AB AC AB 35故 016925.AB BC BC CA CA AB 8点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v(4，3)(即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为| v|个单位)设开始时点 P 的坐标为(10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为_答案(10，5)解析Error!， P(10，5)三、解答题9已知 A(1,2)、 B(0，2)，且 2| |3| |，若点 D 在线段 AB 上，求点 D 的坐AD BD 标解析设 D(x， y)，由题意知，2| |3| |，AD BD
3、且点 D 在线段 AB 上，所以 2 3 ，AD DB 即 2(x1， y2)3( x，2 y)所以Error! ，解得Error! .故 D 点坐标为 .(25， 25)一、选择题1在 ABC 中， D 为 BC 边的中点，已知 a、 b，则下列向量中与 同向的是()AB AC AD 4A B a b|a b| a|a| b|b|C D a b|a b| a|a| a|b|答案A解析 (a b)，而 是与 a b 同方向的单位向量，故选 A.AD 12AB 12AC 12 a b|a b|2已知 O 为 ABC 所在平面内一点，满足| |2| |2| |2| |2| |2| |2，则点 O
4、是 ABC 的()OA BC OB CA OC AB A外心 B内心C垂心 D重心答案C解析设 a， b， c，则 c b，OA OB OC BC a c， b a.CA AB 由题可知| a|2| c b|2| b|2| a c|2，化简可得 cb ac，即( b a)c0.即 0，故 ，即 OC AB.OC AB AB OC 同理可得 OB AC， OA BC.故 O 是 ABC 的垂心3如图，两条绳提一个物体，每条绳用力 5 N，绳夹角为 60，则物体重量 W 为()A5 N B5 N3C5 N D10 N2答案B解析 W2| F1|cos3025 5 N.32 34 O 为平面上的定点
5、， A、 B、 C 是平面上不共线的三点，若( )( 2 )OB OC OB OC OA 0，则 ABC 是()A以 AB 为底边的等腰三角形 B以 BC 为底边的等腰三角形C以 AB 为斜边的直角三角形 D以 BC 为斜边的直角三角形答案B5解析如图， D 为 ABC 边 BC 的中点，( )( 2 ) ( ) 2 0，OB OC OB OC OA CB AB AC CB AD BC AD， AB AC，故选 B.二、填空题5 ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， m( )，则实OH OA OB OC 数 m_.答案1解析取 BC 的中点 D，则 2 .且 OD BC，
6、AH BC，OB OC OD 由 m( )，OH OA OB OC 可得 m( 2 )，OA AH OA OD ( m1) 2 m .AH OA OD ( m1) 2 m ，AH BC OA BC OD BC 即 0( m1) 0，OA BC 故得到 m1.6某重量为 P 的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数 ，那么绳子与地面成_角时，拉力最小33答案30解析如图，由题设知Error!，| F| |P| sin cos33|P|33sin cos ，|P|sin 3cos |P|2sin 606 30时，| F|最小，| F|min .|P|2三、解
7、答题7某人在静水中游泳，速度为 4 km/h.3(1)如果他径直游向河的对岸，水流的速度大小为 4km/h，他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流的垂直方向前进？实际前进的速度大小为多少？解析(1)如图甲所示，由于 v 实 v 水 v 人 ，| v 实 | 8(km/h) 43 2 42又 tan ， 60.|v人 |v水 | 434 3(2)如图乙所示，根据平行四边形法则及解直角三角形知识可得| v 实 | 4 (km/h)|v人 |2 |v水 |2 43 2 42 2又 tan ， arctan .|v水 |v实 | 442 22 22答：(1)他实际
8、沿水流方向成 60角的方向前进，大小为 8km/h.(2)他必须沿水流方向成 90arctan 角的方向前进，大小为 4 km/h.22 28如图所示， AC、 BD 是梯形 ABCD 的对角线， E、 F 分别为 BD、 AC 的中点求证： EF BC.解析设 a， b，AB AD ， b ，即 b a.AD BC BC AD BD AD AB E 为 BD 的中点， (b a) F 为 AC 的中点，BE 12BD 12 ( ) ( ) ( ) (b a)BF BC CF BC 12CA BC 12BA BC 12BA BC 12BC AB 127 (b a) (b a) b .EF BF BE 12 12 (12 12) (12 12)1 BC ，即 EF BC.EF BC 9如图所示，若 D 是 ABC 内的一点，且 AB2 AC2 DB2 DC2，求证： AD BC.解析设 a、 b、 e、 c、 d，AB AC AD DB DC 则 a e c， b e d，所以 a2 b2( e c)2( e d)2 c22 ec2 ed d2，由条件知：a2 c2 d2 b2，所以 ec ed，即 e(c d)0，即 0，AD BC 所以 AD BC.
