《高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.9 第九节 抛物线课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.9 第九节 抛物线课件（95页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 抛 物 线(江苏卷5年0考) 【知识识梳理】 1.抛物线线的定义义 满满足以下三个条件的点的轨轨迹是抛物线线: (1)在平面内. (2)与一个定点F和一条定直线线l距离_. (3)l不经过经过 点F. 相等 2.抛物线线的标标准方程与几何性质质 标标 准 方 程 _ (p0) _ (p0) _ (p0) _ (p0) p的几何意义义:焦点F到准线线l的距离 图图 形 y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py 顶顶点_ 对对称 轴轴 _ 焦点 F_ F_ F_ F_ 离心 率 e=1 O(0,0) y=0(x轴轴)x=0(y轴轴) 准线线 方程_ _ _ 范围围_ 焦半 径(
2、其 P(x0, y0) PF= _ PF= _ PF= _ PF= _ x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR 【常用结论结论 】 1.焦半径、通径 抛物线线y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)到焦点F 的距离PF=x0+ ,也称为为抛物线线的焦半径. 过过焦点垂直于对对称轴轴的弦称为为通径,通径长长等于2p, 是过过焦点最短的弦. 2.四倍关系 y2=ax的焦点坐标为标为 准线线方程为为x=- . 3.直线线AB过过抛物线线y2=2px(p0)的焦点,交抛物线线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图图. (1)y1y2=-p2,x1x2= . (2)AB=x1+x2+p,x
3、1+x2 =p,即当x1=x2时时, 弦长长最短为为2p. (3) (4)弦长长AB= (为为AB的倾倾斜角). (5)以AB为为直径的圆圆与准线线相切. (6)焦点F对对A,B在准线线上射影的张张角为为90. 【基础础自测测】 题组题组 一:走出误误区 1.判断正误误(正确的打“”,错误错误 的打“”). (1)平面内与一个定点F和一条定直线线l的距离相等的点 的轨轨迹一定是抛物线线. ( ) (2)方程y=ax2(a0)表示的曲线线是焦点在x轴轴上的 抛物线线,且其焦点坐标标是 准线线方程是x=- . ( ) (3)抛物线线既是中心对对称图图形,又是轴对轴对 称图图形. ( ) (4)若直
4、线线与抛物线线只有一个交点,则则直线线与抛物线线一 定相切. ( ) (5)过过抛物线线的焦点与抛物线对线对 称轴轴垂直的直线线被抛 物线线截得的线线段叫做抛物线线的通径,那么抛物线线x2=- 2ay(a0)的通径长为长为 2a.( ) 提示:(1).当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定 直线l垂直的一条直线,而非抛物线. (2).方程y=ax2(a0)可化为x2= y是焦点在y轴上 的抛物线,且其焦点坐标是 准线方程是y=- . (3).抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. (4).例如直线y=1与抛物线y2=4x只有一个交点,它们 相交. (5).由通径定义及抛物线性质知,原命题正确.
5、2.直线线y=kx+1与抛物线线y2=x有且只有一个公共点,则则 k=_. 【解析】 消去y得k2x2+(2k-1)x+1=0,(*) 直线与抛物线有且只有一个公共点,等价于方程(*)有 且只有一个解或两个相等的解. 若k2=0,即直线为y=1,显然符合题意; 若k20,由=(2k-1)2-4k2=-4k+1=0得 k= ,综上,k=0或 . 答案:0或 【一题多解】若k=0,显然符合题意; 若k0,直线方程为x= y- , 由 消去x得y2- y+ =0, 由= =0得k=4k2,解得k= , 综上,k=0或 . 答案:0或 【误误区警示】注意不要忽略k=0的情况.对对抛物线线的题题 型,在
6、联联立方程消元时时,有时时消去一次项项更容易计计算. 题组题组 二:走进进教材 1.(选选修2-1P51例2改编编)过过点P(-2,3)的抛物线线的标标准 方程是_. 【解析】设抛物线的标准方程为y2=kx或x2=my, 代入点P(-2,3), 解得k=- ,m= , 所以y2=- x或x2= y. 答案:y2=- x或x2= y 2.(选选修2-1P53习题习题 T3改编编)抛物线线y2=8x上到其焦点 F距离为为5的点P有 个. 【解析】设P(x1,y1),则PF=x1+2=5, 所以x1=3,y1=2 .故满足条件的点P有2个. 答案:2 3.(选选修2-1P53练习练习 T3改编编)如
7、图图是抛物线线形拱桥桥,当水 面在l时时,拱顶顶离水面2 m,水面宽宽4 m.当水面宽为宽为 2 m 时时,水位下降了 m. 【解析】以抛物线的顶点为坐标原点,水平方向为x轴 建立平面直角坐标系, 设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0), 把(2,-2)代入方程得p=1, 即抛物线的标准方程为x2=-2y. 将x= 代入x2=-2y 得:y=-3,又-3-(-2)=-1, 所以水面下降了1 m. 答案:1 考点一 抛物线线的定义义及标标准方程 【题组练题组练 透】 1.动动点P到点A(0,2)的距离比它到直线线l:y=-4的距离小 2,则动则动 点P的轨轨迹方程为为_. 【解析】因为动点P
8、到点A(0,2)的距离比它到直线l:y= -4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线 y=-2的距离相等.由抛物线的定义得点P的轨迹为以 A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程 为x2=8y. 答案:x2=8y 2.如果P1,P2,Pn是抛物线线C:y2=4x上的点,它们们的横 坐标标依次为为x1,x2,xn,F是抛物线线C的焦点,若 x1+x2+xn=10,则则P1F+P2F+PnF=_. 【解析】由抛物线方程y2=4x知其焦点为(1,0), 准线为x=-1,由抛物线的定义知 P1F=x1+1,P2F=x2+1,PnF=xn+1, 所以P1F+P2F+Pn
9、F=x1+1+x2+1+xn+1 =(x1+x2+xn)+n=n+10. 答案:n+10 3.已知抛物线线y2=2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于 2p,则则直线线MF的斜率为为_.世纪纪金榜导导学号 【解析】抛物线的焦点为F 准线方程为x=- . 因为点M到焦点F的距离等于2p,所以点M到准线x=- 的距离等于2p,xM= p,代入抛物线方程解得yM= p, 所以kMF= 答案: 4.若抛物线线x2=ay过过点A 则则点A到此抛物线线的焦 点的距离为为_. 【解析】由已知,点A在抛物线x2=ay上,所以1= a,解 得a=4,x2=4y.由抛物线的定义知点A到焦点的距离等于 点A到准线
10、的距离,所以点A到抛物线的焦点的距离为 yA+1= +1= . 答案: 5.(2017全国卷)已知F是抛物线线C:y2=8x的焦点, M是C上一点,FM的延长线长线 交y轴轴于点N.若M为为FN的中点, 则则FN=_. 世纪纪金榜导导学号 【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M ,点M在抛物线 上,所以 =8,解得a=4 ,所以N(0,4 ), 那么FN= 答案:6 【规规律方法】 待定系数法求抛物线标线标 准方程的关键键是判断焦点位置 、开口方向,在方程的类类型已经经确定的前提下,只需一 个条件就可以确定抛物线线的标标准方程. 提醒: (1)当坐标标系已建立时时,要注意由条件确定抛物线
11、线方程 属于四种类类型中的哪一种. (2)要注意把握抛物线线的顶顶点、对对称轴轴、开口方向与 方程之间间的对应对应 关系. (3)要注意参数p的几何意义义是焦点到准线线的距离,利用 它的几何意义义来解决问题问题 . 考点二 直线线与抛物线线的综综合问题问题 【典例】(1)已知过过抛物线线x2=4y焦点F的直线线l交抛物 线线于A,B两点(点A在第一象限),若 则则直线线l的 方程为为_. (2)已知抛物线线C:y2=4x,过过其焦点且斜率为为 的直线线l 与抛物线线相交于A,B两点,则则弦长长AB=_. (3)已知抛物线线C:y=mx2(m0),焦点为为F,直线线2x-y+2=0 交抛物线线C
12、于A,B两点,P是线线段AB的中点,过过P作x轴轴的 垂线线交抛物线线C于点Q. 世纪纪金榜导导学号 求抛物线线C的焦点坐标标. 是否存在实实数m,使ABQ是以Q为为直角顶顶点的直角三 角形?若存在,求出m的值值;若不存在,请说请说 明理由. 【解析】(1)由题知F(0,1),设直线l:y=kx+1,与抛物线 x2=4y联立得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1)(x10),B(x2,y2), 则有 ,又因为 所以x1=-3x2,与 联立解得k= ,故直线l的方程为y= x+1,即 x- y+ =0. 答案:x- y+ =0 (2)由题知,抛物线的焦点F(1,0),则直线l:y= 与y2=4
13、x联立得3x2-10 x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则有 弦长AB=|x1-x2| 答案: (3)因为抛物线C:x2= 所以它的焦点 存在,联立方程 消去y得mx2-2x-2=0, 依题意,有=(-2)2-4m(-2)0恒成立. 设A(x1,mx12),B(x2,mx22), 则 因为P是线段AB的中点, 所以 即 若存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形, 结合(*)化简得 即2m2-3m-2=0, 所以m=2或m=- , 而20,- 0)的焦点 分别为别为 F1,F2,点P(-1,-1),且F1F2OP(O为为坐标标原点). 世纪纪金榜导导学号 (1)求抛物
14、线线C2的方程. (2)过过点O的直线线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部 分于点N,求PMN面积积的最小值值. 【解析】(1)F1(1,0),F2 所以 所以p=2,所以C2的方程为x2=4y. (2)设过点O的直线为y=kx, 联立 得M 联立 得N(4k,4k2)(k0)的焦点,斜率为为 2 的直线线交抛物线线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10时时参数范围围( 或指出直线过线过 曲线线内一点); 第三步:由题题目要求列出关于x1x2,x1+x2(或y1y2,y1+y2) 的关系式,求得结结果; 第四步:反思回顾顾,查查看有无忽略特殊情况. 【对对点练练找规规律】 1.已知抛物线线C:y2=4x的焦点为为F,准线为线为 l,点Al, 线线段AF交抛物线线C于点B,若 则则| |等于 _. 【解析】由已知B为AF的三等分点,作BHl于H, 如图,则BH= FK= , 所以 答案:4 2.已知M是抛物线线x2=4y上一点,F为为其焦点,点A在圆圆 C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则则MA+MF的最小值值是 _. 【解析】由已知,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引 垂线,垂足为M1,则有M
