《高三数学一轮复习第六章 数列6.4 第四节 数列求和课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第六章 数列6.4 第四节 数列求和课件（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 数 列 求 和(江苏卷5年3考) 【知识识梳理】 1.等差数列的前n项项和公式 Sn= =_. 2.等比数列的前n项项和公式 Sn= na1,q=1, =_,q1. 3.四个必备备公式 (1)1+2+3+4+n= . (2)1+3+5+7+2n-1=n2. (3)2+4+6+8+2n=n2+n. (4)12+22+n2= . 【常用结论结论 】 几种常用变变形 (1) (2) (3)等差数列an的公差为为d,则则 (4) 【基础础自测测】 题组题组 一:走出误误区 1.判断正误误(正确的打“”,错误错误 的打“”) (1)如果数列an为为等比数列,且公比不等于1,则则其前n 项项和为为
2、Sn= . ( ) (2)sin21+sin22+sin23+sin287+sin288+ sin289可用倒序相加求和. ( ) (3)当n2时时, ( ) (4)求数列 的前n项项和可用分组组求和.( ) 提示:(1).因为数列an为等比数列,且公比不等于1, 则其前n项和为Sn= (2).因为sin21+sin289=sin22+sin288 =sin23+sin287=1, 所以sin21+sin22+sin23+sin287+sin288 +sin289可用倒序相加求和. (3).因为 (4).因为数列 是由一个等比数列 与一个等差数列的和数列,所以求数列 的 前n项和可以用分组求和
3、. 2.数列1+2n-1的前n项项和为为_. 【解析】由题意得an=1+2n-1, 所以Sn=n+ =n+2n-1. 答案:n+2n-1 题组题组 二:走进进教材 1.(必修5P57 例3改编编)数列 的前n项项 和为为_. 【解析】由 可知an=n+ , 所以其前n项和Sn=1+ +2+ +3+ +n+ =(1+2+3+n)+ = 答案: 2.(必修5P68 复习题习题 13(1)改编编)数列 的 前n项项和Sn=_. 【解析】因为 所以 的前n项和 Sn=1- + 答案: 考点一 分组转组转 化或并项项求和 【题组练题组练 透】 1.数列an的通项项公式是an=(-1)n(2n-1),则该
4、则该 数列的 前100项项之和为为_. 【解析】由题意知S100=(-1+3)+(-5+7)+(-197+199) =250=100. 答案:100 2.已知函数f(n)= 且an=f(n)+f(n+1),则则 a1+a2+a3+a100等于_. 【解析】由题意,得a1+a2+a3+a100 =12-22-22+32+32-42-42+52+992-1002-1002+1012 =-(1+2)+(3+2)-(4+3)+-(99+100)+(101+100) =-(1+2+99+100)+(2+3+100+101) =-50101+50103=100. 答案:100 3.已知数列an的通项项公式
5、是an=n2sin ,则则 a1+a2+a3+a2 018等于_. 【解析】an=n2sin = 所以 a1+a2+a3+a2 018=-12+22-32+42-2 0172+2 0182 =(22-12)+(42-32)+(2 0182-2 0172) =1+2+3+4+2 018= . 答案: 4.已知数列an满满足an=1+2+22+2n-1,则则an的前n项项 和Sn=_. 【解析】因为an=1+2+22+2n-1= =2n-1, 所以Sn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-2-n. 答案:2n+1-2-n 【规规律方法】 1.分组转组转 化法求和的常见类见类 型 (1)若a
6、n=bncn,且bn,cn为为等差或等比数列,可采 用分组组求和法求an的前n项项和. (2)通项项公式为为an= 的数列,其中数列bn, cn是等比数列或等差数列,可采用分组组求和法求和. 2.并项项求和法 一个数列的前n项项和中,可两两结结合求解,则则称之为为并 项项求和.形如an=(-1)nf(n)类类型,可采用两项项合并求解. 例如Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97) +(2+1)=5 050. 考点二 错错位相减求和 【典例】已知an是各项项均为为正数的等比数列,bn是 等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.
7、 (1)求an和bn的通项项公式. (2)设设cn=anbn,nN*,求数列cn的前n项项和Sn. 【解析】(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d, 由题意知q0. 由已知,有 消去d,整理得q4-2q2-8=0. 因为q0,解得q=2,所以d=2. 所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*; 数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*. (2)由(1)知cn=(2n-1)2n-1, 设cn的前n项和为Sn,则 Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1, 2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 上述两式相减,得-S
8、n=1+22+23+2n-(2n-1)2n= 2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3, 所以,Sn=(2n-3)2n+3,nN*. 【答题题模板微课课】本例题题(2)的模板化过过程: 扫码扫码 听名师讲师讲 解 建模板: “由(1)知cn=(2n-1)2n-1”,写通项项 “故Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1) 2n-1”,写前n项项和 “2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+ (2n-1)2n”,乘公比 上述两式相减,得 -Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n= -(2n-3)2n-3,错错
9、位相减 所以Sn=(2n-3)2n+3(nN*).整理出结结果 套模板: 已知an=2n-1,bn=2n+1,cn=anbn,求数列cn的前n项项和 Tn 【解析】由题知cn=anbn=(2n+1)2n-1,写通项 故Tn=320+521+722+(2n+1)2n-1, 写前n项和 2Tn=321+522+723+(2n+1)2n, 乘公比 上述两式相减得,-Tn=3+22+23+2n-(2n+1)2n 错位相减 =3+ -(2n+1)2n =(1-2n)2n-1 得Tn=(2n-1)2n+1. 整理出结果 所以数列cn的前n项和为(2n-1)2n+1. 【规规律方法】 利用错错位相减法的一般
10、类类型及思路 (1)适用的数列类类型:anbn,其中数列an是公差为为d的 等差数列,bn是公比为为q1的等比数列. (2)思路:设设Sn=a1b1+a2b2+anbn(*), 则则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1(*), (*)-(*)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1,就转转 化成了根据公式可求的和. 【对对点训练训练 】 设设Sn是数列an的前n项项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3. (1)求数列an的通项项公式. (2)令bn=(2n-1)an,求数列bn的前n项项和Tn. 【解析】(1)当n=1时,a2=2S1+3=2a1+
11、3=9, 当n2时,an+1=2Sn+3, 可得an=2Sn-1+3. 两式相减得,an+1-an=2(Sn-Sn-1), 即an+1-an=2an,an+1=3an, 则an=a23n-2=93n-2=3n. 又an=3n对n=1也成立, 所以an=3n. (2)由(1)知,bn=(2n-1)an=(2n-1)3n, 故Tn=13+332+533+(2n-1)3n, 3Tn=132+333+534+(2n-1)3n+1, 两式相减可得: -2Tn=3+2(32+33+3n)-(2n-1)3n+1 =3+2 -(2n-1)3n+1, 化简可得Tn=3+(n-1)3n+1. 考点三 裂项项相消法
12、求和 【明考点知考法】 裂项项相消法求和作为为考查查等差、等比数列知识识的 最佳载载体,因其考查查知识识、数学素养等较较多成为为高考 命题题的热热点,试题试题 常以解答题题的形式出现现,考查查等差数 列、等比数列、构造数列以及数学运算等问题问题 .解题题 过过程中常常渗透数学运算核心素养. 命题题角度1 裂项项相消直接求和 【典例】(2017全国卷)等差数列an的前n项项和为为 Sn,a3=3,S4=10,则则 =_.世纪纪金 榜导导学号 【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,所以 解得 所以an=n,Sn= 那么 那么 = =2 答案: 【状元笔记记】 如果一个数列的通项为项为 分式,若
13、分式的分母为为两个因 式的积积,且这这两个因式的差为为定值值求和时时,可利用裂项项 相消法求和. 命题题角度2 与裂项项相消求和有关的综综合问题问题 【典例】(2017全国卷)设设数列 满满足 a1+3a2+(2n-1)an=2n.世纪纪金榜导导学号 (1)求 的通项项公式. (2)求数列 的前n项项和. 【解析】(1)由已知可得:a1+3a2+(2n-1)an=2n, 所以当n1时有a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1), 所以两式作差可得:(2n-1)an=2, 即an= (n1,且nN*), 又因为n=1时,a1=2符合, 所以an= (nN*). (2)设bn= 则bn= 所
14、以数列 的前n项和为 Sn=b1+b2+bn =1- =1- = 【状元笔记记】 使用裂项项法求和时时,要注意正负项负项 相消时时消去了哪些 项项,保留了哪些项项,切不可漏写未被消去的项项,未被消 去的项项有前后对对称的特点,实质实质 上造成正负负相消是此 法的根源与目的. 【对对点练练找规规律】 1.数列an满满足:a1=1,且对对任意的m,nN*,都有 =am+an+mn,则则 =_. 【解析】因为a1=1,且对任意的m,nN*都有 =am+an+mn, 所以an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1, 用累加法可得an=a1+ 所以 所以 答案: 2.设设等差数列an的前n项项和为为Sn,已知a1=9,a2为为整数 且SnS5,则则数列 的前9项项和_
