《高三数学一轮复习第九章 立体几何9.8 第八节 利用向量求空间角课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第九章 立体几何9.8 第八节 利用向量求空间角课件（113页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节 利用向量求空间角(江苏卷5年3考) 【知识识梳理】 1.异面直线线所成角的求法 设设a,b分别别是两异面直线线l1,l2的方向向量,则则: a与b的夹夹角为为l1与l2所成的角为为 范围围(0,) _ 求法 cos = cos =|cos |=_ 2.直线线和平面所成角的求法 如图图所示,设设直线线l的方向向量为为e, 平面的法向量为为n,直线线l与平面所成的角为为, 两向量e与n的夹夹角为为,则则有sin =|cos |= _. 3.二面角的求法 (1)如图图,AB,CD是二面角 -l -两个半平面内与 棱l垂直的直线线,则则二面角的大小为为=_. (2)如图图,n1,n2分别别是二
2、面角 -l -的两个半 平面,的法向量,则则二面角的大小满满足cos =cos或-cos. 【常用结论结论 】 1.利用空间间向量如何求线线段长长度 利用 可以求空间间中有向线线段的长长度. 2.点到平面的距离 (1)“作一证证一求”法:作出点P到平面的垂线线后求出垂 线线段的长长. (2)转转移法:如果平面的斜线线上两点A,B到斜足C的距 离AC,BC的比为为mn,则则点A,B到平面的距离比也为为 mn. (3)体积积法:通常借助三棱锥锥,通过转换过转换 底面与顶顶点求 点到平面的距离. 【基础础自测测】 题组题组 一:走出误误区 1.判断正误误(正确的打“”,错误错误 的打“”) (1)设
3、设a,b是异面直线线l1,l2的方向向量,则则l1与l2所成的 角就是a,b的夹夹角.( ) (2)设设a是直线线l的方向向量,b是平面的法向量,则则直 线线l与平面成的角就是a,b的夹夹角.( ) (3)设设a,b是两个平面,的法向量,则则与所成的 二面角的大小等于a,b的夹夹角的大小.( ) (4)若直线线l平行于平面的法向量,则则直线线l垂直于平 面.( ) (5)若不共线线三个点到同一平面的距离相等,则这则这 三 个点确定的平面平行于平面.( ) 提示:(1).因为(0,),l1与l2夹角 (0, . (2).因为的余弦的绝对值等于线面角正弦值. (3).因为与二面角的大小相等或互补.
4、 (4).因为法向量垂直于平面,所以l. (5).可能有两点在平面一侧,第三个点在平面的另一 侧. 2.已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对对角线线BD1上, PDA=60,则则DP与CC1所成的角的大小为为_. 【解析】设正方体的棱长为1,以D点为原点,以DA,DC, DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0), =(1,0,0), =(0,0,1),连结BD,B1D1,在平面BB1D1D 中,延长DP交B1D1于H,设 =(m,m,1),由PDA=60, 可得m= , 答案:45 题组题组 二:走进进教材 1.(选选修2-1P110例4改编编)在正方体ABCD
5、-A1B1C1D1中, E是C1D1的中点,则则异面直线线DE与AC夹夹角的余弦值为值为 _. 【解析】如图建立空间直角坐标系D -xyz,设 DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E ,则 =(-1,1,0), 设异面直线DE与AC所成的角为, 则则cos = 答案: 2.(选选修2-1P114T13改编编)在四棱锥锥P -ABCD中,底面 ABCD是正方形,PD底面ABCD,PD=DC,则则二面角 C -PB -D的大小为为_. 【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角 坐标系.设PD=DC=1, 则D(0,0,0),P(0,0,1), C(0,1,0),B(1,1,0).
6、所以 设平面PBD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 由n1 =0,n1 =0得 令x1=1,得n1=(1,-1,0). 设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 由n2 =0,n2 =0得 令y2=1得n2=(0,1,1), 设二面角C -PB -D的大小为,则cos= 所以=60. 答案:60 考点一 求异面直线线所成的角 【题组练题组练 透】 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则则BM与AN所成的角的余弦 值为值为 _. 【解析】以点C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直 线CC1
7、为z轴建立空间直角坐标系.设CA=CB=1,则 B(0,1,0),M A(1,0,0), 所以 所以 答案: 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1= ,则则异面 直线线AB1和BC1所成角的大小为为_. 【解析】设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,则OC1平面 ABB1A1,以 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正 方向建立空间直角坐标系,如图, 则A(-1,0, ),B1(1,0,0),B(1,0, ),C1(0, ,0), 因为 所以 , 即异面直线AB1和BC1所成角为直角. 答案:90 3.点M,N分别别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1和棱B1C1的
8、中点,则则异面直线线CM与DN所成的角的余弦值为值为 _. 世纪纪金榜导导学号 【解析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立 空间直角坐标系, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则N(1,2,2), D(0,0,0),C(0,2,0),M(2,2,1), 则 =(2,0,1), =(1,2,2), 设异面直线所成角为, 则cos = 所以异面直线CM与DN所成的角的余弦值为 . 答案: 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧侧棱A1A底面ABC,AC=1, AA1=2,BAC=90,若AB1与直线线A1C的夹夹角的余弦值值 是 ,则则棱AB的长长度是_. 【解析】
9、如图建立坐标系.设AB=a,则 A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),C(0,1,0), 所以 =(a,0,2), =(0,1,-2), 所以 解得a=1,所以棱AB的长度是1. 答案:1 5.如图图所示,在棱长为长为 2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是 棱CC1的中点, 若异面直线线D1E和A1F所成角的 余弦值为值为 ,则则的值为值为 _.世纪纪金榜导导学号 【解析】以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立 空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则 所以 所以 答案: 【规规律方法】利用向量求线线线线 角的解题题策略 (1)向量法求异面直线线所成的
10、角的方法有两种 基向量法:利用线线性运算; 坐标标法:利用坐标标运算. (2)注意向量的夹夹角与异面直线线所成的角的区别别 当异面直线线的方向向量的夹夹角为锐为锐 角或直角时时,就是 此异面直线线所成的角;当异面直线线的方向向量的夹夹角 为钝为钝 角时时,其补补角才是异面直线线所成的角. 考点二 求直线线与平面所成的角 【典例】如图图,ABC中,O是BC的中点 ,AB=AC,AO=2OC=2,将BAO沿AO折起,使B点到达B点. 世纪纪金榜导导学号 (1)求证证:AO平面BOC. (2)当三棱锥锥B-AOC的体积积最大时时,试问试问 在线线段BA上 是否存在一点P,使CP与平面BOA所成的角的
11、正弦值值 为为 ?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说请说 明理由. 【解析】(1)因为AB=AC且O是BC的中点,所以AOBO, AOCO,由折叠知AOBO,又因为COBO=O,所以 AO平面BOC. (2)方法一:不存在,证明如下:当面BOA面AOC时, 三棱锥B-AOC的体积最大,因为面BOA面AOC =AO,BOAO,所以BO面AOC,所以OCOB,又因 为OCOA,所以OC平面AOB,在直角三角形CPO中, CO=1, 所以PC= , 所以OP= ,易求得O到直线AB的距离为 所以满足条件的点P不存在. 方法二:不存在,证明如下:当面BOA面AOC时,三棱 锥B-AOC的体积最大,
12、因为面BOA面AOC=AO, BOAO,所以BO面AOC,所以OCOB,故OA, OB,OC两两垂直,如图建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),B(0,0,1),C(0,1,0),设 = (-2,0,),则 =(2-2,-1,),又因为 平面BOA的法向量n=(0,1,0),依题意得, 得 化简得,102-16+7=0,此方程 无解,所以满足条件的点P不存在. 【规规律方法】向量法求线线面角的两大途径 (1)分别别求出斜线线和它所在平面内的射影直线线的方向 向量,转转化为为求两个方向向量的夹夹角(或其补补角). (2)通过过平面的法向量来求,即求出斜线线的方向向量与 平面的法向量所夹夹的锐
13、锐角,取其余角就是斜线线和平面 所成的角. 【拓展】公式cos =cos 1cos 2 的应应用,如图图所示: ABC=,ABO=1,OBC=2.其中1为为直线线AB与平 面所成的线线面角.这这个公式在求解一些填空题时题时 ,可直 接应应用.但是一定要注意三个角的位置,不能张张冠李戴. 【对对点训练训练 】 1.如图图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1, BAA1=60.世纪纪金榜导导学号 (1)证证明:ABA1C. (2)若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线线A1C与平面 BB1C1C所成角的正弦值值. 【解析】(1)取AB中点E,连结CE,A1B,A1
14、E, 因为AB=AA1,BAA1=60,所以BAA1是正三角形,所以 A1EAB,因为CA=CB,所以CEAB, 因为CEA1E=E,所以AB平面CEA1, 所以ABA1C. (2)由(1)知ECAB,EA1AB, 又因为平面ABC平面ABB1A1, 平面ABC平面ABB1A1=AB, 所以EC平面ABB1A1,所以ECEA1, 所以EA,EC,EA1两两相互垂直, 以E为坐标原点, 的方向为x轴正方向, | |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 由题设知A(1,0,0),A1(0, ,0),C(0,0, ), B(-1,0,0), 则 设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量, 则 所以cos= 所以直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 . 2.如图图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中 ,ADBC,BAD=90, ACBD,BC=1.AD=AA1=3. 世纪纪金榜导导学号 (1)证证明:ACB1D. (2)求直线线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值值. 【解析】(1)因为ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,所以BB1平 面ABCD,且AC平面ABCDBB1AC.又因为ACBD,且 BDBB1=B,所以AC平面BDB1.因为B1D平面BDB1,所 以ACB1D. (2
