《北京海淀八一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京海淀八一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市八一学校20172018学年度第一学期期中试卷高一数学一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1. 设集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：结合数轴，根据，得的取值范围.详解：集合，集合，故选点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析
2、】分析：根据指数函数以及幂函数性质判断单调性.详解： 的定义域为，故错误；在上递减，在上递增，所以函数在上是增函数，故正确；在上单调递减，故错误；在上单调递减，故错误综上所述选点睛：本题考查指数函数以及幂函数单调性性质，考查函数性质简单应用能力.3. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：分别根据对数函数和指数函数单调性判断大小.详解：由对数函数和指数函数的性质可知：，故选点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小时，常利用函数单调性，有时还需借助第三个数如0，1，进行比较大小.4. 满足条件的集合的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：或考点：集合
3、的运算5. 已知是函数的一个零点，若，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】分析：先确定函数单调性，再根据自变量大小确定函数值正负.详解：是函数的一个零点，又在上单调递增，且，故选点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数值得符号.6. 已知函数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先确定自变量服务，再代入对应解析式，根据指对数运算性质求值.详解：，故选点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出
4、现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 7. 已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据条件得函数值域包含于值域，再求根据二次函数性质与一次函数性质求值域，最后根据值域包含关系列不等式，解得实数的取值范围.详解，单调递增，若对任意，总存在，使得，则，解得故选点睛：对任意存在性问题，一般转化为对应函数值域问题，即值域包含于值域.8. 设方程的两根为，则（ ）A. B. C. D.
5、 【答案】A【解析】此题考查方程的根设，答案 A点评：掌握对数的运算法则二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分）9. 函数的定义域是_【答案】【解析】分析：先根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再解指数不等式得结果.详解：要使函数有意义，则，解得，故函数的定义域是点睛：具体函数定义域主要考虑：(1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.（3）对数中真数大于零.(4)零次幂得底不为零.10. 已知函数（且）的图象必经过点，则点坐标是_【答案】【解析】分析：先根据对数函数性质得，带入解得点坐标.详解：令得，故函数的图象必过定点点睛：对数函数恒过点，指数函数恒过点，
6、幂函数恒过点11. 已知函数，若，则_【答案】【解析】分析：先根据对数方程解得，再根据对数运算法则求值.详解：函数，点睛：对数运算性质：12. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】解：函数y=（x-1）2在区间（1，2）上单调递增，当x（1，2）时，y=（x-1）2（0，1），若不等式（x-1）2logax恒成立，则a1且1loga2即a（1，2，故答案为：（1，213. 已知，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：先根据条件得方程没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，解得实数的取值范围详解：，方程没有正实数解，故集合有两种情况：若，则，则；若，则
7、方程有两个非正数解，且不是其解，则有：，解得综上所述，即实数的取值范围是点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.14. 给定集合，若是的映射，且满足：任取，若，则；任取，若，则有则称映射为的一个“优映射”例如：用表表示的映射是一个“优映射”表（）若是一个“优映射”，请把表补充完整（只需填出一个满
8、足条件的映射）（）若是“优映射”，且，则的最大值为_【答案】（）或或或（）【解析】分析：（1）根据优映射定义，列出所有可能情况，（2）根据优映射定义，由得，因此最大值为详解：（）由优映射定义可知：，；或，表有以下几种可能：或或或（）根据优映射的定义：是一个“优映射”，且，则对，只有当，时，取得最大值为点睛：对于新定义的问题，首先正确理解新定义含义，其次根据新定义将条件转化为旧定义，充分利用熟悉知识化简与论证新定义相关内容.三、解答题（4道小题，共44分要求写出必要的解答过程）15. 求下列各式的值（）（）（）设，求的值【答案】（1）-7（2）0（3）1【解析】分析：（1）根据化简求值，（2）根
9、据化简求值，（3）根据化简求值.详解： 解：（），（），（）设，则，点睛：本体考查指数运算法则、对数运算法则以及指对数式相互转换，考查基本求解能力.16. 已知为定义在上的偶函数，且当时，（）求当时，的解析式（）解不等式【答案】（1）时，（2）【解析】分析：(1)根据偶函数得，再根据当时， 得当时， ，(2)先求时不等式解集： ；再根据偶函数性质得当时，解集为，两者得并集为结果.详解： 解：（）当时，当时，又为定义在上的偶函数，综上，故时，（）当时，等价于，即，解得，；当时，等价于，即，解得，综上所述，不等式的解集为点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解
10、析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.17. 已知二次函数的最小值为，且（）求的解析式（）若在区间上不单调，求实数的取值范围（）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：对于（1），首先根据题目信息可设，接下来将已知的点代入进行计算即可求出的值，进而确定函数的解析式；对于（2），由（1）可知的对称轴为直线，进而可得，据此即可求出的取值范围；对于（3），首先求出的表达式，进而不难得到对任意属于恒成立，令，求出的最小值，即可求出的取值范围.试题解析：（1）由已知，设，由，得，故.（2）要使函数不单调，则，即.（3）由已知，
11、即，化简，得.设，则只要，而解得：，即实数的取值范围是.考点：二次函数的图象和性质.18. 已知数集具有性质：对任意的，都存在，使得成立（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由（）求证：（）若，求的最小值【答案】（1）数集具有性质；数集不具有性质（2）见解析（3）8【解析】【试题分析】（1）直接运用题设提供的条件进行验证即可；（2）运用题设条件中定义的信息可得，同理可得，将上述不等式相加得：，可获证；（3）借助（2）的结论可知，又，所以可得，因此构成数集，经检验具有性质，故的最小值为.解：（1）因为，所以具有性质；因为不存在，使得，所以不具有性质.（2）因为集合具有性质，所以对而言，存在，使得，又因为，所以，所以，同理可得，将上述不等式相加得：，所以.（3）由（2）可知，又，所以，所以，构成数集，经检验具有性质，故的最小值为.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得，同理可得，再将上述不等式相加得：即可获证；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知，又，所以可得，因此构成数集，经检验具有性质，进而求出的最小值为.
