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1、普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（六）理科数学第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为，故选【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题2. 已知复数的共轭复数，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数乘除运算化简，求得后得到答案【详解】则则复数的虚部是故选【点睛】本
2、题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题。3. 设为等比数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果【详解】设等比数列的公比为，解得则故选【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题4. 已知，表示两个不同平面，表示两条不同直线.对于下列两个命题：若，则“”是“”的充分不必要条件；若，则“”是“且”的充要条件.判断正确的是（ ）A. ，都是真命题 B. 是真命题，是假命题C. 是假命题，是真命题 D. ，都是假命题【答
3、案】B【解析】解：由，表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：若b，a，则“ab”“a”，反之，“a”推不出“ab”，“ab”是“a”的充分不必要条件，故是真命题若a，b，则“”“且b”，反之，“且b”，推不出“”，“”是“且b”的充分不必要条件，故是假命题故选：B5. 若的展开式中项的系数为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次项定理可以求出的二项展开式的通项为，令，求得的值，根据求得，利用基本不等式即可求解【详解】的二项展开式的通项为令，解得则则，当且仅当时取等号，即的最小值为故选【点睛】本题主要考查的是二次项定理，解题的关键是求出二项展开式的
4、通项为，属于基础题6. 执行如图所示的算法框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8.故选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱【答案】A【解析】【分析】作出几何体的直观图进行判断【详解】由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示，故几何体为三棱锥故选【点睛】本题是一道基础图，主要考查了简单空间图形的三视图，作出几何体
5、的直观图即可得到答案8. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,所以,选D.9. 已知实数，满足，若的最小值为，则实数的值为（ ）A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案【详解】由作出可行域如图：联立，解得联立，解得化为由图可知，当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即综上所述，实数的值为故选【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不
6、能正确的对进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题10. 设函数，给出下列四个命题：当时，是奇函数；当，时，方程只有一个实数根；函数可能是上的偶函数；方程最多有两个实根.其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果【详解】当时，函数，则函数是奇函数，故正确当，时，函数在上是增函数，且值域为，则方程只有一个实数根，故正确若函数是上的偶函数，则，即，不存在等式在上成立，故错误当，时，方程有三个实根：，因此，方程最多有两个实根
7、错误综上所述，正确的命题有故选【点睛】对于函数的奇偶性和单调性的判断，利用定义法来证明，对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可以利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性，草图确定其中参数的范围。11. 已知抛物线：，焦点为，直线：，点，线段与抛物线的交点为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，且，由，确定出，的坐标，即可求得结果【详解】由抛物线：，可得设，且，解得，故选【点睛】本题主要考查的是抛物线的标准方程，几何性质以及向量的坐标运算，属于中档题12. 已知是函数的导数，满足，且，设函数的一个零点为，则以下正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解
8、析】【分析】求出的表达式，得到的表达式，求出和的值，从而求出的范围【详解】设则满足，则，即在上存在零点故选【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性以及函数零点的判定定理，构造出的函数尤为重要，最后运用零点的存在定理进行判定第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则的最小正值为_【答案】【解析】【分析】求出平移后的解析式，根据余弦函数的对称轴公式列出方程解出【详解】将向右平移个单位长度后得到函数的图象关于直线对称解得当时，取得最小正值为故答案为【点睛】本题主要考查的是函
9、数的图像变换以及三角函数的应用，易错点有两个方面：一是三角函数图象平移法则应用错误；二是不会利用对称轴进行转化，纠错方法是正确理解三角函数“左加右减，上加下减”的平移法则，熟记正弦函数，余弦函数的对称轴求解方法，并通过训练提高应用能力14. 抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为，那么直线的斜率的概率是_【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出满足直线的斜率的基本事件个数，由此得到答案【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为，基本事件总数直线的斜率满足直线的斜率的基本事件有：，共个直线的斜率的概率故答案为【点睛】本题主要考查的是事件与概率和古典概型，应用列举法计算基本事件数
10、及事件发生的概率，属于基础题。15. 、分别为双曲线左、右支上的点，设是平行于轴的单位向量，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可【详解】由向量数量积的定义可知即向量在向量上的投影模长的乘积，故求的最小值，即求在轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知的最小值为故答案为【点睛】本题有两个易错点：一是不理解向量投影的概念，导致无法求解；二是不能结合双曲线图象求解，突破方法是强化数形结合在解题中的应用。16. 已知数列中，对任意的若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积.已
11、知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则_【答案】【解析】试题分析：由题意可知，又是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，又是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列，每12项的和循环一次，易求出，因此中有168组循环结构，故，故填：考点：1新定义问题；2数列求和三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量，.（1）求的最大值，并求此时的值；（2）在中，内角，的对边分别是，满足，求的值.【答案】(1) ，时，的最大值为 (2) 【解析】【分析】利用向量数量积的
12、坐标结合降幂公式及辅助角公式化简求得，进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的的值由中的解析式结合求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得答案【详解】（1） ，当，即，时，的最大值为.（2），在中，由余弦定理得， ，在中，由正弦定理得，.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算以及正弦定理和余弦定理，在化简过程中注意辅助角公式的运用和求最值时的方法18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为的中点，.（1）求证：；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定、二面角的求解等基础知识，
13、考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力和逻辑推理能力.第一问，利用面面垂直的性质先得到线面垂直 平面，从而得到线线垂直，利用线面垂直的判定得平面，最后利用性质定理得到；第二问，法一：利用线面及三角形相似等知识判断出为直线与平面所成的角，再在三角形中利用余弦定理解题；法二：利用向量法先建立空间直角坐标系，利用夹角公式计算二面角的余弦值.试题解析：（）证明：连结,因,为的中点故.侧面 底面 平面，平面，又，故 平面所以（）解法一：在矩形中，由（）得，所以，不妨设则侧面 底面，底面为矩形平面 平面 为直线与平面所成的角=，=，为等边三角形，设的中点为，连接，则在中，过作，交于点，则为二面角的一个平面角。由于=，所以在中，即二面角的余弦值解法二：取的中点，以为原点，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系不妨设，则，所以，从而，.设平面的法向量为，由，得，可取同理，可取平面的一个法向量为于是，所以二面角的余弦值为考点：本题主要考查：1.线面垂直的判定；2.二面角的求解.19. 为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消
