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1、江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期学业质量阳光指标调研试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，则_【答案】【解析】分析：根据交集的定义，即可求出.详解：集合， .故答案为.点睛：本题考查了交集运算问题，属于基础题.2. 一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于_【答案】2【解析】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）5=3，方差=（13）2+（23）2+（33）2+（43）2+（53）25=2考点：方差3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随
2、机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有_辆【答案】80【解析】试题分析：时速在区间内的汽车有考点：频率分布直方图4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于_【答案】【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲
3、）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为.故答案为.点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5. 设向量，若，则实数的值是_【答案】4【解析】试题分析：由题意得考点：向量平行6. 如右图所示的算法流程图中，最后的输出值为_【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下15输出 故不成立时，.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7. 公元五世纪张丘建所著张丘
4、建算经卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为_尺（1匹=4丈，1丈=10尺）【答案】【解析】，分析：设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.详解：设该女子织布每天增加尺， 由题意知，尺，尺 又由等差数列前项和公式得，解得尺故答案为点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.8. 如图所示，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点，均为格点（格点是指每个小
5、正方形的顶点），则_【答案】12【解析】分析：设水平向右和竖直向上的单位向量分别为和，用和表示和，再根据公式计算，即可求出答案.详解：设水平向右和竖直向上的单位向量和，则和 由图可知， .故答案为12.点睛：本题考查向量运算在几何中的应用，向量的数量积以及向量的正交分解，考查计算能力以及转化思想，属于中档题.9. 已知角的终边上一点的坐标为，则的值为_【答案】【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为，求出的值，利用，将的值代入即可得结果.详解：角的终边上的一点的坐标为， ，那么，故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1
6、)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.10. 已知的三个内角，所对的边分别是，且角，成等差数列，则的值为_【答案】1【解析】分析：由角，成等差数列，可得，由余弦定理，整理可得：，再将通分化简，即可就得答案.详解：角，成等差数列， ， 由由余弦定理，整理可得： 故答案为1.点睛：本题考查了余弦定理和等差数列的性质，属于基本知识的考查.11. 已知关于的方程在上有3个相异实根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：将方程问题转换为函数与的图象在上有三个不同交
7、点.根据函数图象可以求出答案.详解：方程在上有3个相异实根，函数与的图象在上有三个不同交点，在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在上，函数与有两个不同的交点，在上，函数与有一个交点 ，联立，整理得， ，即，解得实数的取值范围为故答案为点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.12. 已知，且，则的最小值等于_【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解： ， ， ， ，当且仅当时取等号. 的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.1
8、3. 将关于的方程（）的所有正数解从小到大排列构成数列，其，构成等比数列，则_【答案】【解析】分析：根据三角函数图像与性质，建立关于，的方程组，即可求出的值.详解：方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标，由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期又，构成等比数列，解得故答案为点评：本题综合考查方程的根与两个函数图象交点的关系，三角函数的图象与性质，等比数列的性质，考查转化思想、数形结合思想和分析解决问题的能力。14. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：应用换元法，令，不等式恒成立，转化为在恒成立，确定关系式，即可求得答案.
9、 详解： 函数对称轴，最小值 令， 则恒成立，即在上. ， 在单调递增， ，解得，即实数的取值范围是故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法。二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据同角三角函数可得，再根据正弦的两角和公式，即可求得的值. （2）根据同角三角函数可得，另，再根据正弦的两角差公式，即可求得，然后求出值.详解：解：（1）由，得，所以 .（2）因为，所以，又，
10、则，所以 ，因为，所以.点睛：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧以及特殊角的三角函数值。16. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式，求出和公差，即可求出数列的通项公式.（2）求得，运用裂项相消法求和，化简即可得到所求的和.详解：解：（1）设等差数列的公差为，其中，由，得，即，由，得，即，所以，故.（2）由（1）得，则，所以 .点睛：本题考查等差数列的通项和前项和公式，考查裂项相消法求数列的和，考查方程思想和运算能力.裂项相
11、消法是必须掌握的求和方法之一，找到正确的裂项的方向是解题的关键，常见的裂项技巧有：（1）；（2） ；（3）（4）此外，需注意裂项相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，注意计算结果中项的对称性，即正与负的项数是相同的.17. 如图，在平面四边形中，.（1）若，求的面积；（2）若，求的长度.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据数量积的定义求出，再根据三角形面积公式求出. （2）根据余弦定理和正弦定理求出和，再由诱导公式和余弦定理，即可求出的长度.详解：解：（1）因为，所以，即，又因为，所以，则，所以.（2）在中，由余弦定理得： ，解得：，在中，由正弦定理得：，即，所以，在中，由余弦定理
12、得：，即 .点睛：本题考查数量积的公式，考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查化简和变形能力.18. 如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当时，四边形材料的面积最小，最小值为.【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出和，进而得出四边形材料的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角的范围. （2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整
13、理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点在上的位置.详解：解：（1）在直角中，因为，所以，所以，在直角中，因为，所以，所以，所以 ，.（2）因为 ，令，由，得，所以 ，当且仅当时，即时等号成立，此时，答：当时，四边形材料的面积最小，最小值为.点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性
14、质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.19. 已知函数.（1）当，时，求满足的的值；（2）若函数是定义在上的奇函数. 存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】(1);(2);.【解析】分析：（1）把，代入，求解即可得答案. （2）函数是定义在上的奇函数，得，代入原函数求解得的值，判断函数为单调性，由函数的单调性可得的取值范围. 由，求得函数，代入，化简后得恒成立，令，参数分离得在时恒成立，由基本不等即可求得的最大值.详解：解：（1）因为，所以，化简得，解得（舍）或，所以.（2）因为是奇函数，所以，所以，化简变形得：，要使
