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1、17-18学年上学期高二年级数学学科期中考试试卷理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题仅有一个正确答案1.在中，若，则该三角形一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】 ，由正弦定理可得： ，即 又 即 则ABC的形状是等腰三角形，故选D【点睛】本题考查了三角形的形状判断，正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中根据三角函数值求角的大小，推出 是解题的关键2.不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A. 或 B. C. D. 或【答案】A【解析】不等式的解集为, 的两根为，且，即,解得
2、则不等式可化为解得故选3.已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是A B或C D以上均不正确【答案】A【解析】【分析】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn），利用待定系数法能求出椭圆方程【详解】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn），代入A、B得， ，解得 ，所求椭圆方程为+x2=1故选A【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用4.已知，则有（ ）A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值2 D. 最小值2【答案】D【解析】依题意，类比对钩函数的性质可知，当，即时，函数取得最小值为.点
3、睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数在区间上递减，在上递增，而函数是由函数图像整体向右平移两个单位所得，故时，函数取得最小值为.5.三角形中， ， ，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 设，则， 由正弦定理可得，所以 所以时，取得的最大值，故选C.6.等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问
4、题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.视频7.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的, 则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设椭圆的方程为 ，直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为 ，椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，可得 故选：A8.我国
5、古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中
6、档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.9.已知内角的对边分别是，若，则的面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据正弦定理可得，结合，再利用余弦定理解方程可得，利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为内角的对边分别是，且，所以由正弦定理可得，由余弦定理可得，解得，所以三角形的面积为：，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于简单
7、题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.10.已知数列满足 ，且对任意都有，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】数列 满足 时， 时， ，可得 ，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 对任意 都有，则 的取值范围为 故选：D【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力其中放缩是解题的关键11.已知实数满足,若的最大值为10，则（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】作可行域，则直线过点(3,4)时取最大值，由得，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形
8、结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.12.在中， ,给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件周长为面积为中， 方程则满足条件，的轨迹方程依次为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】周长为，则,动点的轨迹方程为椭圆方程；面积为，则 到的距离为，即,动点的轨迹方程为椭圆方程；中，则，动点的轨迹方程为，故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.若方程表示椭圆，则实数的取值范围
9、是_【答案】【解析】试题分析：由椭圆方程的特点可知需满足，所以实数的取值范围是考点：椭圆方程14.已知的周长为，面积为，且，则角的值为_【答案】【解析】设三个内角所对的边分别为，则，又，根据正弦定理得：，则，所以.15.在等比数列中，则_.【答案】1【解析】由题意可得，又，所以，即数列为常数列，所以，填1.16.不等式的解集为_【答案】【解析】因为，所以或，即解集为三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，的面积为，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角统一角，得，
10、再用正弦定理角化边即证。（2）由角B的面积公式可得.结合（1）中和解B的余弦定理，三个方程三个未知数，可解得b.试题解析：（1）.由正弦定理可得：，可得：，.（2），的面积为，.由余弦定理可得： .，可得：，解得：.【点睛】在三角形问题中，若给出的条件式中既有边又有角，一般先依据正(余)弦定理化边为角或化角为边，再按转化后的表达式特点选择变形解答方法18.已知等比数列的前项和为，等差数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系解得根据待定系数法解得等差数列公差与首项，代人即得的通项公式；（2）根据错位相减法求数
11、列的前项和.注意相减时项的符号变号，求和时项的个数，最后不要忘记除以试题解析：解：（）当时，；当时， .综上所述，.设数列的公差为，故解得，故.（）依题意， ， ，得， ，.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19.某人上午7时乘船出发，以匀速海里/小时 从港前往相距50海里的港，然后乘汽车以匀速千米/小时()自港前往相距千米的市，计划当天下午4到9时到达市
12、.设乘船和汽车的所要的时间分别为、小时，如果所需要的经费(单位：元)(1)试用含有、的代数式表示；(2)要使得所需经费最少，求和的值，并求出此时的费用.【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）分析题意，先用表示，先用表示，代入，化简即可；（2）求出满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优.试题解析：(1)，得，得所以(其中)(2)其中，令目标函数,可行域的端点分别为则当时，所以(元),此时答：当时，所需要的费用最少，为元.【方法点晴】本题主要考查线性规划的应用及求目标函数的最值，属简
13、单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.20.设数列的前项和为.已知=4，=2+1，.（）求通项公式；（）求数列|的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.试题解析：（）由题意得，则又当时，由，得.所以，数列的通项公式为.（）设，.当时，由于，故.设数列的前项和为，则.当时，所以，【考点】等差、等比
14、数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分视频21.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得，再根据离心率为得（2）设直线点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及弦长公式求底边AB长，再根据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式列方程，解出直线斜率，注意验证斜率不存在时是否满足题意试题解析：解：（）设椭圆的方程为： ， 由已知：得：，所以，椭圆的方程为：.
