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1、北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化
2、简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法
3、是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（ ）A. 30 B. 45 C. 90 D. 186【答案】C【解析】由，所以。5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱
4、的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要
5、条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的
6、短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义
7、来求解8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本
8、题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为_【答案】【解析】【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标，利用两点间距离公式即可得结果.【详解】化为，化为直角坐标为，即为，圆心坐标
9、为，的直角坐标仍然是,所以与的距离为，故答案为.【点睛】利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题10.展开式中的系数为_【答案】 【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，所以的系数为，故答案为.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考
10、查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11.能够说明“设是任意非零实数若，则”是假命题的一组整数的值依次为_【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质，找出一组符合题意的即可.【详解】要使“设是任意非零实数若，则”是假命题，只需满足 且 即可，可取，故答案为.【点睛】本题主要考查不等式的性质与应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12.若满足 则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表
11、示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值，最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.13.动点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的值域为_【答案】【解析】【分析】由12秒旋转
12、一周，可得每秒旋转，由时，点的坐标是，可得当时，由此可得求出的范围，结合正弦函数的单调性即可得结果.【详解】因为动点 12秒旋转一周，所以每秒旋转，设动点与正方向夹角为因为时间时，点的坐标是，所以当时，所以，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数为当时，即动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数值域为，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式，正弦函数的单调性与值域，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.14.已知函数(1) 若，则函数的零点有_个；(2) 若存在实数，使得函数总有三个不同的零点，则实数的取值范围是_【答案】 (1). 2 (2). 且【解析】【分析】(1)直接由或求解
13、即可的结果；（2）问题等价于使得的图象的图象有三个交点，分类讨论，分别画出函数图象，利用数形结合可得结果.【详解】(1)由得或，因为无解，所以函数的零点有2个；（2）设,则,由,可得在递增，由,可得在上递减，函数在有极小值，在有极大值，若，画出函数的图象，如图，由图可知存在,使得的图象与的图象有三个交点，此时有三个零点；若，画出函数的图象，如图，由图可知存在,使得的图象与的图象有三个交点，此时有三个零点；若，画出函数的图象，如图，由图可知的图象与的图象最多有两个交点，不合题意；若，在上递增，在递减，的图象的图象最多有两个交点，不合题意，综上可得，实数的取值范围是且，故答案为(1). 2 (2)
14、. 且.【点睛】本题主要考查函数的零点、分类讨论思想的应用以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.在中，角的对边分别为，.（）求的值；（）求的面积.【答案】（） ； （）.【解析】【分析】（）直接利用余弦定理列方程求解即可；（）由同角三角函数的关系求得，结合（）利用三角形面积公式求解即可.【详解】（）在中，因为，由余弦定理，可得， 所以，或（舍）（）因为，所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.如图，
